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1、弹性力学讲义第二章平面问题的基本理论——byChenping第二章平面问题的基本理论本章主要内容平面应力和平面应变问题的概念平衡微分方程、几何方程、物理方程的建立边界条件和圣维南原理按位移和按应力求解平面问题。平面应力问题平面应变问题问题简化平面问题[特殊形状+特殊外力（约束）]空间问题（空间物体+空间力系）§2-1平面应力问题与平面应变问题§2-1平面应力问题与平面应变问题平面应力问题几何形状—等厚度薄板面力体力外力—平行于板面并且不沿厚度变化例如深梁,以及平板坝的平板支墩等应力、应变和位移应力附1应变位移下面讨论平面问题的应力，应变和位移特点平面应
2、力问题薄板厚度只剩平行于xy面的三个应力分量:由于板很薄,外力又不沿厚度变化切应力互等§2-1平面应力问题与平面应变问题薄板上下面只有平面应力分量存在且仅为x，y的函数的弹性力学问题。§2-1平面应力问题与平面应变问题平面应力问题——非独立变量平面应变问题几何形状—柱形体很长面力、体力--在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化内在因素和外来作用都不沿长度变化。如挡土墙,涵洞或隧道,压力圆柱管,辊轴§2-1平面应力问题与平面应变问题涵洞挡土墙或重力坝压力圆柱管长圆柱形辊轴平面应变问题柱形体很长§2-1平面应力问题与平面应变问题平面应变问题（二）平面应变
3、问题（一）有限长度，轴向变形被限制无限长度，轴向变形也完全受到限制平面应变问题柱形体很长任一横截面都可以看作是对称面因此，只剩下平行于xy面的三个形变分量！§2-1平面应力问题与平面应变问题位移应变应力平面位移问题平面应变问题——只有平面应变分量存在，，，且仅为x，y的函数的弹性力学问题。§2-1平面应力问题与平面应变问题平面问题思考题：1.设有厚度很大（即z向很长）的基础梁放置在地基上，力学工作者想把它近似地简化为平面问题处理，问应如何考虑？2.平面问题的求解只需考虑xy面上的各个分量，原因是另外一个方向上任何分量都为零。（对错判断）§2-2平衡微分
4、方程在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑:静力学方面、几何学方面和物理学方面。首先考虑平面问题的静力学方面,根据平衡条件来导出应力分量与体力分量之间的关系式,也就是平面问题的平衡微分方程。表示区域内任一点（x,y）的微分体的平衡条件§2-2平衡微分方程从平面问题中任取微小的正平行六面体x方向dxy方向dyz方向设为1各面应力均匀分布，作用在截面中心体力也均匀分布，作用在体积中心平均正应力或切应力的增量可用泰勒级数表示为：略去二阶及更高阶微量§2-2平衡微分方程简化为静力平衡微分方程公式推导考虑了正负x,y面上应力增量公式推导以正的物理量表示应力和体力
5、应乘以其面积和体积，得出合力连续性、小变形假设静力平衡微分方程公式推导过中心C平行z轴列力矩的平衡方程：§2-2平衡微分方程上式，引用§1-3，第(5)个基本假定——小变形假定！过中心C平行z轴列力矩的平衡方程：§2-2平衡微分方程静力平衡微分方程公式推导移项§2-2平衡微分方程切应力互等定律命dx及dy趋于零化简为静力平衡微分方程公式推导（2-1）以x轴为投影轴,列出投影的平衡方程§2-2平衡微分方程静力平衡微分方程公式推导以x轴为投影轴,列出投影的平衡方程§2-2平衡微分方程上式约简后，得平衡方程:由得相似的微分方程：平面问题的平衡微分方程静力平衡
6、微分方程公式推导（2-2）对于上述平衡徽分方程，应强调说明几点：平衡微分方程表示任一点(x,y)的平衡条件，(x,y)属于平面域A，所以也代表A中所有点的平衡条件。式(2-2)第一式中所有的各项都是x向的力，第二式均是y向的力。（2-1）又一次导出了切应力互等定理。在任一等式中，各项的量纲必须相同，据此可以作为检查公式是否正确的条件之一。平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连续性和小变形假定。5.对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微分方程相同。由于，以后只作为一个独立未知函数处理。因此，2个独立的平衡微分方程(2-2)中含有3个应力未知函数。弹性力学
7、对平衡条件的考虑是严格和精确的。(2-1)在材料力学中,矩形截面梁弯曲时的正应力公式为试用弹性力学平衡微分方程式,求横截面上的切应力公式。例题分析1解：弹性力学中的平衡微分方程（假定体力为零）为§2-3几何方程刚体位移考虑平面问题的几何学方面,导出应变分量与位移分量之间的关系式,也就是平面问题中的几何方程。一点的变形§2-3几何方程刚体位移取任意一点Px方向线段PA=dxy方向线段PB=dy线段PA正应变一点的应变位移关系——正应变PB的正应变§2-3几何方程刚体位移试证明图中y方向的位移v所引起的线段PA的伸缩是高阶微量。问题一点的应变位移关系——切
8、应变求线段PA与PB之间的直角的改变,也就是切应变,用位移分量来表示。切应变平面问题中表明应变
