弹性力学第2章ppt课件.ppt

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1、第二章平面问题的基本理论1平面问题的基本理论第二章平面问题的基本理论§2-11应力函数逆解法与半逆解法§2-1平面应力问题与平面应变问题§2-2平衡微分方程§2-3斜面上的应力主应力§2-4几何方程刚体位移§2-5物理方程§2-6边界条件§2-7圣维南原理§2-8按位移求解平面问题§2-9按应力求解平面问题。相容方程§2-10常体力情况下的简化习题课2一、平面应力问题§2-1平面应力问题与平面应变问题在实际问题中，任何一个弹性体严格地说都是空间物体，它所受的外力一般都是空间力系。但是，当所考察的弹性体的形状和受力情况具有一定特点

2、时，只要经过适当的简化和力学的抽象处理，就可以归结为弹性力学平面问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。等厚度薄板，板边承受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。σz=0τzx=0τzy=0图2－1平面问题的基本理论3平面问题的基本理论xy特点：1)长、宽尺寸远大于厚度2)沿板边受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上无外力作用。问题相反。注意：平面应力问题z=0，但，这与平面应变4二、平面应变问题很长的柱体，在柱面上承受平行于横截面并且不沿长度

3、变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化。εz=0τzx=0τzy=0x图2－2平面问题的基本理论如：水坝、受内压的圆柱管道等。注意平面应变问题z=0，但问题相反。，这恰与平面应力5§2-2平衡微分方程无论平面应力问题还是平面应变问题，都是在xy平面内研究问题，所有物理量均与z无关。下面讨论物体处于平衡状态时，各点应力及体力的相互关系，并由此导出平衡微分方程。从图2－1所示的薄板取出一个微小的正平行六面体PABC(图2－3），它在z方向的尺寸取为一个单位长度。图2－3设作用在单元体左侧面上的正应力是，右侧面上坐标得到

4、增量，该面上的正应力为，将上式展开为泰勒级数：平面问题的基本理论6略去二阶及二阶以上的微量后便得同样、、都一样处理，得到图示应力状态。对平面应力状态考虑体力时，仍可证明剪应力互等定理。以通过中心D并平行于z轴的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程：将上式的两边除以得到：令，即略去微量不计，得：平面问题的基本理论7下面推导平面应力问题的平衡微分方程，对单元体列平衡方程：平面问题的基本理论8整理得:这两个微分方程中包含着三个未知函数。因此决定应力分量的问题是超静定的；还必须考虑形变和位移，才能解决问题。对于平面应变问题,虽然前后面上还有,

5、但它们完全不影响上述方程的建立。所以上述方程对于两种平面问题都同样适用。平面问题的基本理论9§2-3斜面上的应力、主应力一、斜面上的应力已知弹性体内任一点P处的应力分量，求经过该点任意斜截面上的应力。为此在P点附近取一个平面AB，它平行于上述斜面，并与经过P点而垂直于x轴和y轴的两个平面划出一个微小的三角板或三棱柱PAB。当平面AB与P点无限接近时，平面AB上的应力就成为上述斜面上的应力。设AB面在xy平面内的长度为dS，厚度为一个单位长度，N为该面的外法线方向，其方向余弦为：平面问题的基本理论图2－410斜面AB上全应力沿x轴

6、及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB的平衡条件可得：除以即得：同样由得出：斜面AB上的正应力，由投影可得：斜面AB上的剪应力，由投影可得：平面问题的基本理论11二、主应力如果经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力称为P点的一个主应力，而该斜面称为P点的一个应力主面，该斜面的法线方向称为P点的一个应力主向。1.主应力的大小2.主应力的方向与互相垂直。平面问题的基本理论12§2-4几何方程、刚体位移在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性体受

7、力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。图2－5一、P点的正应变在这里由于小变形，由y方向位移v所引起的PA的伸缩是高一阶的微量，略去不计。平面问题的基本理论13同理可求得：二、P点的切应变线段PA的转角：同理可得线段PB的转角：所以平面问题的基本理论14因此得到平面问题的几何方程：由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。平面问题的基本理论15§2-5物理方程在完全弹性的各向同性体内，形变分量与应力分量之间的关系根据虎克定律建立如下：平面问题的

8、基本理论16式中，E为弹性模量；G为刚度模量；为泊松比。三者的关系：一、平面应力问题的物理方程且有：平面问题的基本理论17二、平面应变问题的物理方程三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的变换关系将平面应力中的关系式：平面问题的基本理论18作代换就可