弹性力学讲义.ppt

《弹性力学讲义.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、弹性力学讲义——byChenping第4章平面问题的极坐标解答圆环和圆筒受均布压力压力隧洞圆孔的孔边应力集中半平面体在边界上受法向集中力及法向分布力等问题。第4章平面问题的极坐标解答本章主要内容本章主要讨论采用极坐标时平面问题的解法。内容分为两大部分,首先推导极坐标中平面问题的基本方程,然后介绍几个典型问题的极坐标解答,如：平面问题公式小结(直角坐标)A静力学方程式2.边界条件1.平衡微分方程式B几何方程2.相容方程用应变表示的相容方程1.位移与应变关系常体力用应力表示的相容方程〈平面应力情况)（平面应变情况）C物理方程1.平面应力问题2.平面应变问题变换公式D由应力函数求解时所用公式相

2、容方程为应力为§4-1极坐标中的平衡微分方程例如,对于圆盘(如汽轮机的叶轮)、圆环、输油管、炮筒等构件,圆孔应力集中问题及楔形体之类构件,如果采用极坐标来解,显然要比直角坐标系方便得多。在第3章我们研究了平面问题的直角坐标解答,在许多情况下,求解问题的难易程度,与我们所用坐标系有很大关系,坐标系选得合适,就能使运算过程大为简化。直角坐标和极坐标平面内任一点的位置是用两个数表示单元体径向坐标(极径)环向坐标(极角)直角坐标单元体——长方体x方向dxy方向dyz方向设为1极坐标——分割为扇形单元体径向正应力环向正应力切应力单元坐标极坐标——分割为扇形单元体单元坐标将微分体所受各力投影到微分体

3、中心的径向轴上,列出径向的平衡方程：§4-1极坐标中的平衡微分方程很小§4-1极坐标中的平衡微分方程将微分体所受各力投影到微分体中心的切向轴上,列出切向的平衡方程用τρ代替τρ,简化以后,除以ρddρ,再略去微量平衡微分方程——对比直角坐标（4-1）§4-2极坐标中的几何方程及物理方程在极坐标中,用ρ代表径向正应变(径向线段的正应变),用代表环向正应变(环向线段的正应变),用ρ代表切应变(径向与环向两线段之间的直角的改变);用uρ代表径向位移,用u代表环向位移。极坐标扇形单元位移描述（a）各点环向坐标不变（b）各点径向坐标不变径向线段PA的正应变为a.各点环向坐标不变环

4、向线段PB的正应变为径向线段PA的转角为环向线段PB的转角为切应变为b.各点径向坐标不变径向线段PA的正应变为环向线段PB的正应变为径向线段PA的转角为环向线段PB的转角为切应变为如果沿径向和环向都有位移，分别叠加而得几何方程物理方程(平面应力)(4-2)(4-3)各点环向坐标不变各点径向坐标不变平衡方程（4-1）形式和直角坐标一致直角坐标和极坐标是两种常用的坐标系,我们常常需要将物理量从一种坐标系转换到另一种坐标系。另一方面,极坐标系中的一切公式,当然可以如同直角坐标系中一样从头导出。但是我们也可以简化公式的推导,直接通过坐标变换关系,从直角坐标系中的公式转换成极坐标中的公式。为此,我

5、们来建立直角坐标系和极坐标系之间的变换关系。直角坐标极坐标坐标变量的变换位移（矢量）等的变换应力分量的坐标变换式导数的变换变量变换1.坐标变量的变换2.位移（矢量）等的变换§4-3极坐标中的应力函数和相容方程极坐标应力函数(4-5)不计体力极坐标中的相容方程——用坐标变换方法推导直角坐标相容方程导数的变换Φ是ρ,φ的函数，也是x,y的函数Φ是ρ,φ的函数，也是x,y的函数极坐标中的相容方程——用坐标变换方法推导极坐标中的相容方程——用坐标变换方法推导(a)(b)(c)极坐标中的相容方程——用坐标变换方法推导将（a）(b)两式相加，便得到：极坐标中的相容方程极坐标中的相容方程——用坐标变换

6、方法推导应力分量用应力函数表示：将下图中的x、y轴转到的方向ρ,极坐标中的相容方程极坐标应力分量（不计体力）§4-4应力分量的坐标变换式直角坐标极坐标根据三角板A的平衡条件,可以写出平衡方程简化§4-4应力分量的坐标变换式根据三角板A的平衡条件,可以写出平衡方程根据三角板B的平衡条件§4-4应力分量的坐标变换式(4-7)(4-8)§4-4应力分量的坐标变换式§4-5平面轴对称应力和相应的位移轴对称——指物体的几何形状或某物理量是绕一轴对称的，凡通过对称轴的任何面都是对称面。若应力是绕z轴对称的，则在任一环向线上的各点，应力分量的数值相同，方向对称于z轴。§4-5轴对称应力和相应的位移应

7、力轴对称：即在一个半径的圆周上,各点应力状态是相同的。从对称条件可知,剪应力ρ=0,只有正应力为σρ和σ,且它们仅是坐标ρ的函数,与无关。轴对称应力几何方程物理方程(平面应力)平衡微分方程应力轴对称位移轴对称逆解法与φ无关§4-5轴对称应力和相应的位移轴对称应力应力只是ρ的函数!推导见下页附前页轴对称应力相对应的应变和位移将应力分量代物理方程§4-5轴对称应力和相应的位移§4-5轴对称应力和相应的位移应力分量代几何方程轴对称