弹性力学第7章74及.ppt

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1、上堂课学习过的内容§7.1平衡微分方程§7.2物体内任一点的应力状态§7.3主应力最大与最小的应力空间问题的基本理论第七章空间问题的基本理论§7.4几何方程物理方程§7.5轴对称问题的基本方程例题本堂课空间问题的几何方程，可以从平面问题推广得出：(a)§7-4几何方程及物理方程几何方程是用来描述形变分量与位移分量之间关系的函数。(a)平面问题的几何方程：空间问题的几何方程：从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系：⑴若位移确定，则形变完全确定。从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。--沿x,y,z向的刚体平移；

2、⑵若形变确定，则位移不完全确定。由形变求位移，要通过积分，会出现待定的函数。若，还存在对应的位移分量，为：(b)--绕x,y,z轴的刚体转动。若在边界上给定了约束位移分量，则空间问题的位移边界条件为：(c)边界Su上约束位移分量的已知值位移分量的边界值(d)展开并考虑到小变形假定，略去形变的2、3次幂，得到：体积应变定义为：单位体积的体积改变。空间问题的物理方程⑴应变用应力表示，用于按应力求解方法：(x,y,z).(e)可表示为两种形式：more由物理方程可以导出（g）是第一应力不变量，又称为体积应力。为体积模量。是体积应变。⑵应

3、力用应变表示，用于按位移求解方法：(x,y,z).(f)空间问题包括应力，形变和位移等15个未知函数，它们都是(x,y,z)的函数。这些函数在弹性体区域内必须满足3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程，并在边界上满足应力或位移的边界条件。空间轴对称问题采用圆柱坐标表示。如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都是对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都是对称面），则应力，形变和位移也对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。§7-5轴对称问题的基本方程对于空间轴对称问题（设对称轴为z轴）：应力中只有形变中只有位移中只有所有物理

4、量仅为(ρ,z)的函数。其他xyzoφρxyozφdφρdρzdzPABCdzρdρPACzφdφ微元体受力分析而由得出为。平衡微分方程：取sin(dφ/2)及cos(dφ/2)分别近似地等于(dφ/2）及1.几何方程：几个概念沿ρ方向的线应变，称为径向应变eρ。沿φ方向的线应变，称为环向应变eφ。沿z方向的线应变，称为轴向应变ez。ρ方向与z方向之间的直角的改变用γzρ代表。径向位移uρ环向位移uφ轴向位移uz由于轴对称，有：轴对称问题的几何方程几何方程简化为：物理方程：应变用应力表示：(d)由于圆柱坐标和极坐标同样也是正交坐标

5、，物理方程的基本形式可以直接根据胡克定律得来。同样，由物理方程可以导出是第一应力不变量，又称为体积应力。为体积模量。是体积应变。即应力用应变表示：其中边界条件：一般用柱坐标表示时，边界面均为坐标面。所以边界条件也十分简单。在柱坐标中，坐标分量的量纲、方向性、坐标线的性质不是完全相同的。因此，相应的方程不具有对等性。例题1试求图示空间弹性体中的应力分量。(a)正六面体弹性体置于刚体中，上边界受均布压力q作用，设刚性体与弹性体之间无摩擦力。(b)半无限大空间体，其表面受均布压力q的作用。qqooxxzz（a）（b）解：图示的(a),(

6、b)两问题是相同的应力状态：x向与y向的应力、应变和位移都是相同的，即对于(a)，有约束条件　　　　；对于(b)，有对称条件　　　　。则可解出：而两者的　　　　，因此，由物理方程：例题2图示的弹性体为一长柱形体，在顶面z=0上有一集中力F作用于角点，试写出z=0表面上的边界条件。xyobbaazF解：本题是空间问题，z=0的表面是小边界，可以应用圣维南原理列出应力的边界条件。即在z=0的表面边界上，使应力的主矢量和主矩，分别等于面力的主矢量和主矩，两者数值相等，方向一致。由于面力的主矢量和主矩是给定的，因此，应力的主矢量和主矩的数

7、值，应等于面力的主矢量和主矩的数值；而面力主矢量和主矩的方向，就是应力主矢量和主矩的方向。应力主矢量和主矩的正负号和正负方向，则根据应力的正负号和正负方向来确定。对于一般的空间问题，列积分的应力边界条件时，应包括6个条件。对于图示问题这6个积分的边界条件是：小结空间问题的几何方程空间问题的物理方程轴对称问题的基本方程预习第八章空间问题的解答（8-1至8-4节内容）