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《弹性力学第3章—应变》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、弹性力学课件制作：丁勇、单艳玲、章子华配套教材：《弹性与塑性力学引论》中国水利水电出版社，丁勇宁波大学建筑工程与环境学院联系方式：137210762@qq.com弹性力学第3章应变3.1变形与应变的概念z刚性位移物体内各点的位置变化，但A′任意两点间的距离保持不变B位移:AB′变形位移物体内任意两点之间的O相对距离发生了改变。yx研究物体的变形规律，只需要研究物体内各点的相对位置变动情况，也即研究变形位移uux=(,,)yz张量形式位移函数vvx=(,,)yzuuxiij=()wwx=(,,)yzi=1,2,3j=1,2,33.1变形与应变的概念微线段的位移与变形:
2、yδSP′(,)xy′′发生位移后的微线段：gggdgggdgggdggggdPxy(,)SS′S′′′=+−+(OPPP)(OP00PP0)Px′(,)′′ygggdgggdgggdggggd000=−+−()OPOP()PP′PP′S000=+−Suu()Px000(,)yx0O其中S为原线段，、分别为线段起点、终点的位移，所以uu0δSSSuu=′−=−0上式写成张量分量形式，得到线段矢量分量的变化量δSuu=−ii0i3.1变形与应变的概念微线段的位移与变形:yδS考虑到uuxiij=()，将P点位移P′(,)xy′′在P点按照泰勒级数展开0Pxy(,)SS
3、′(2)u=u+uS+oSi=1,2,3i0ii,jjjPx′(,)′′y000S联合下式δSuuii0=−iPx000(,)yxO得到δSuS=ii,jj其中ui,j称为相对位移张量。所以线段矢量各方向的变化量（δSi）可以由原线段矢量（）和相对位移张量（Sjui,j）来表示。3.1变形与应变的概念相对位移张量的分解:相对位移张量可以分解为对称张量和反对称张量之和，即11uuij,,=++−()ijuuji,,()ijuji,22即u=ε+ωij,ijij对称部分称为应变张量，反映物体的变形1εij=+()uui,,jji2反对称部分称为转动张量，反映物体的刚体位
4、移1ωij=−()uuij,,ji23.1变形与应变的概念微线段的刚体位移:刚体位移时，矢量在位移前后的长度（模）相等S′=()S+δS(S+δS)=SS=Siiiiii化简并略去高阶小量后得到2SδS=0ii联合右式δSuS=ii,jj得到SuS=0ii,jj展开后，即为222222222uSuSuS1,11+2,22+++3,33(u1,2uSS2,1)12++(u2,3uSS3,2)23++(u3,1uSS1,3)31=0S是任意线段，因此上式成立的条件是S各分量的系数为零，即u+u=0i,j,ij因此刚体位移所对应的相对位移张量是反对称张量，反之亦成立3.1
5、变形与应变的概念应变张量的物理意义:1.拉压应变（线应变）应变张量反映了物体的变形，因此变形导致的线段矢量变化量为δSS=εiijj当矢量平行于轴时，S=S，其余为0，所以1δS1ε=11S1可见ε11表示x方向的线应变（单位长度的伸长量），同ε22理、ε33分别为y、z方向的线应变。3.1变形与应变的概念y应变张量的物理意义:δS2x2.剪切应变y2若两个矢量变形前分别平行于x、y轴Sδ⎧Si=S11S′⎨2⎩Sj=S22S变形后分别为2S′yϕ11⎧S1′=i(S1+δS1x)+j(δS1y)Sδ⎨OSx⎩S′2=i()δS2x+j()S2+δS2y1δS变形后
6、两个矢量的夹角的余弦为1xSS12′⋅∂′δSu2xδS1y∂vcosϕ==+=+=2ε12SS′′SSyx∂∂1221变形后S、S所夹直角的改变量为12α≈sinαϕε==cos2123.1变形与应变的概念应变张量的物理意义:2.剪切应变因此，互相垂直的两个矢量变形后夹角的改变量为yδS2xα=2ε12该改变量即为剪应变y2Sδγ=2εxy12S′2同理可得S2γ=2εϕS1′y1yz23SδOSx21γ=εzx31δS1x3.1变形与应变的概念应变张量的物理意义:汇总三维问题时应变张量（分量）的物理意义为ε==εγε2⎫xx11y12⎪ε==εγε2⎬yy22z
7、23ε==εγε2⎪⎭zz33x31其中各个分量的下标1、2、3也可用x、y、z代替，即ε===εεεεε⎫xx11yy12x21⎪ε===εεεεε⎬yy22zz23y32⎪ε===εεεεε⎭zz33xx32z133.2转轴时应变分量的变换应变张量在坐标变换时的转换公式令变换前后的坐标系分别为Oxyz和Ox′y′z，推导表明′ε=εllij′′′ijiijj′其中l′ii=cos(xi′,xi)，i=3,2,1。xi,xi′分别为Oxyz和Ox′y′z′坐标系的坐标轴。上式即为坐标变换时，二阶应变张量εij服从的变换规律。它说明应变是一个二阶张量，由此可以求
