弹性力学基础应力应变

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1、第一讲应力圆与空间应力空间问题的基本未知量与基本方程物体内任一点的应力状态分析空间问题的平衡微分方程空间问题的几何方程和物理方程空间轴对称问题的基本方程主要内容§5.1空间问题的基本未知量与方程什么空间问题？一维问题：一个基本坐标变量，如杆件。是材料力学的重点内容。二维问题：二个基本坐标变量，如平面问题。是本课程的重点内容。三维问题：三个基本坐标变量，即空间问题。是本课程需了解的内容。空间问题的基本未知量与方程任何一个弹性体是空间物体（坐标变量为x、y、z），外力为空间力系。实际的弹性力学问题都是空间问题。对于空间问题，在弹性体区域内，

2、仍然要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程；并在边界上建立应力边界条件或位移边界条件。空间问题与平面问题具有相似性：基本未知数、基本方程、边界条件和求解方法均是类似的。空间问题的基本未知量与基本方程物体内任一点的应力状态分析空间问题的平衡微分方程空间问题的几何方程和物理方程空间轴对称问题的基本方程主要内容§5.2物体内任一点的应力状态分析1：求经过该点任何斜面上的应力p？2：求经过该点的任何斜面上的正应力sn和切应力tn？3：若经过该点的主应力s和应力主方向a？4：求经过该点的正应力sn和切应力tn的最大和最小值？一点

3、应力状态分析：已知任一点处坐标面上的6个应力分量，求解如下四个问题：过一点任意斜面的全应力问题1：已知任一点处坐标面上的6个应力分量，求经过该点的任何斜面上的应力p？取如图所示微分单元体PABC，当平面ABC无限接近于P点时，该平面上的应力即为所求应力p。根据该微分单元的力系平衡条件，在x、y和z轴方向上合力为0，从而有：过一点任意斜面的全应力特殊情况下，若平面ABC是弹性体上受面力作用的边界面，则应力p就成为面力，于是由(7－2)式可得出:上式就是空间问题的应力边界条件，它表明应力分量的边界值与面力分量之间的关系。过一点任意斜面的正应

4、力与切应力问题2：求经过该点的任何斜面上的正应力和切应力？平面ABC上的正应力sn即为上面所求的全应力p向法线方向n的投影：平面ABC上的切应力tn则由下式求得：过一点任意斜面的主应力与主方向问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜面上的主应力s和应力主方向a？设如图所示的斜面上切应力为0，则该面上的全应力等于正应力，也等于主应力，于是有又由于有过一点任意斜面的主应力与主方向从而有关于方向余弦l,m,n的线性方程组：其有非零解的充要条件为系数行列式等于0，即过一点任意斜面的主应力与主方向其中：主应力特征方程展开，得：过一点任意

5、斜面的主应力与主方向主应力特征方程有三个实数根，s1，s2，s3分别表示这三个根，代表某点三个主应力，从而确定弹性体内部任意一点主应力。主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等，与坐标轴的选取无关。I1、I2、I3分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。特征方程的根是确定的，即系数I1、I2、I3的值是不随坐标轴的改变而变化的。结合l2+m2+n2=1则可求主应力方向。过一点任意斜面的主应力与方向对于主应力方向，将s1，s2，s3分别代入可以证明：三个主应力方向，是互相垂直的。过一点任意斜面的应力极值弹性体内任意一点的最大正应

6、力为s1，最小正应力为s3最大切应力可以通过主应力计算，等于(s1-s3)/2。最大切应力作用平面也可以通过主应力方向得到，其作用平面通过s2应力主方向，并且平分s1和s3应力主方向的夹角（即45°角）。问题4、已知任一点处三个主应力（s1≥s2≥s3），及其应力主方向，可求得经过该点正应力、切应力的最大和最小值例1：证明主应力是正应力的极值（极大或极小）。解：为了计算方便，选三个主方向为坐标轴向，则有sx=s1，sy=s2，sz=s3，txy=tyz=txz=0设任意斜微分面的方向余弦为（l,m,n)，其上的全应力为公式（7－2），正

7、应力为公式（7－3），代入有sn=s1l2+s2m2+s3n2=s1–(s1-s2)m2-(s1-s3)n2设三个主应力大小顺序为s1≥s2≥s3，则正应力取极大值条件：m=n=0,

8、l

9、=1,即极大值为s1。同理极小值为s3。例　题例1：证明主应力是正应力的极值（极大或极小）。解：为了计算方便，选三个主方向为坐标轴向，则有sx=s1，sy=s2，sz=s3，txy=tyz=txz=0设任意斜微分面的方向余弦为（l,m,n)，其正应力为公式（7－3），代入有sn=s1l2+s2m2+s3n2=s1–(s1-s2)m2-(s1-s3)n2

10、设三个主应力大小顺序为s1≥s2≥s3，则正应力取极大值条件：m=n=0,

11、l

12、=1,即极大值为s1。同理极小值为s3。例　题空间问题的基本未知量与基本方程物体内任一点的应力状态分析空间问题的平衡微分方程空