第3章(弹性力学其他问题讨论)

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1、第3章若干弹性力学问题的讨论13.1弹性力学中的几个典型问题13.1.1平面问题23.1.2轴对称问题43.1.3板壳问题63.2弹性力学问题的一般求解方法83.2.1用位移平衡微分方程求解平面问题93.2.2利用相容性条件按应力求解平面问题103.2.3Airy应力函数113.3结构材料失效准则与等效应力143.3.1材料实验的基本知识143.3.2最大主应力准则153.3.3最大剪应力准则163.3.4最大变形能准则163.3.5正八面体剪应力准则173.3.6最大剪应力准则与最大变形能准则的对比183.3.7脆性材料的库仑摩尔圆准则203.4能量法213.4

2、.1应变能的定义213.4.2用瑞利法分析梁弯曲问题233.4.3弹性问题中的能量表示—虚位移原理25习题29第3章若干弹性力学问题的讨论本章主要讨论与机械结构分析有关的弹性力学理论中的其它典型问题，包括弹性力学平面问题中典型问题分析、弹性力学问题的基本求解方法简介、机械结构强度与失效的基本理论，以及有关能量法的基本知识，这是利用有限元进行机械结构弹性体分析的理论依据。要求了解掌握弹性力学平面问题的应力函数法、掌握结构强度失效准则中的等效应力理论等内容，了解能量法的基本思想。3.1弹性力学中的几个典型问题30任何一个弹性体都是一个空间物体，其所受的外力也都是空间力

3、系，所以，严格地讲，任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题。但是，如果所分析的弹性体具有某种特殊的形状、并且所承受的外力是某种特殊的外力，那么就可以把空间问题简化为近似的典型问题进行求解。这样的简化处理可以大大简化分析计算的工作量，且所获得的结果却仍然能够满足工程上的精度要求。本节主要介绍平面问题、轴对称问题和板壳问题。3.1.1平面问题平面问题是工程实际中最常遇到的问题，许多工程实际问题都可以简化为平面问题来进行求解。平面问题一般可以分为两类，一类是平面应力问题，另一类是平面应变问题。(1)平面应力问题所谓平面应力问题是指，所研究的对象在z方向上的尺寸很小（即呈

4、平板状），外载荷（包括体积力）都与z轴垂直、且沿z方向没有变化，在z=±h/2处的两个外表面（平面）上不受任何载荷，如图3-1所示。图3-1平面应力问题对于这种情况，在z=±h/2处的两个外表面上的任何一点，都有sz=tzx=tzy=0。另外，由于z方向上的尺寸很小，所以可以假定，在物体内任意一点的sz、tzx、tyz都等于零，而其余的三个应力分量sx、sy、txy则都是x,y的函数。此时物体内各点的应力状态就叫做平面应力状态。在平面应力状态下，由于sz=tzx=tzy=0，所以可以很容易得到平面应力问题的平衡方程(3.1)平面应力问题的几何方程(3.2)30平面

5、问题中的物理方程(3.3)平面问题的弹性矩阵以及应力应变关系式参见上节。(2)平面应变问题图3-2平面应变问题与上述情况相反，如图3-2所示，当物体z方向上的尺寸很长，物体所受的载荷（包括体积力）又平行于其横截面（垂直于z轴）且不沿长度方向（z方向）变化，即物体的内在因素和外来作用都不沿长度方向变化，那么这类问题称为平面应变问题。对于平面应变问题，一般可假想其长度为无限长，以任一横截面为xy面、任一纵线为z轴，则所有应力分量、应变分量和位移分量都不沿z方向变化，而只是x,y的函数。在这种情况下，由于任一横截面都可以看作是对称面，所以物体内各点都只能在xy平面上移动

6、，而不会发生z方向上的移动。根据对称条件可知，tzx=tzy=0，并且由剪应力互等关系可以断定，txz=tyz=0。但是，由于z方向上的变形被阻止了，所以一般情况下sz并不等于零。在平面应变状态下，由于sx、sy、sz及txy都只是x,y的函数，而txz=tyz=0，且因外力都垂直于z轴，故无z方向的分量。由应力平衡微分方程式可以看出，其中的第三个方程能够自动满足，剩余的两个式子与式（3.2）相同。对于平面应变问题，因位移分量都不沿z方向变化，且w=0，故有ez=gzx=gzy=0，所以其几何方程与平面应力问题的几何方程相同。但是，由于ez=0，即，因而平面应变问

7、题的物理方程与平面应力问题的物理方程不同，即(3.4)对于平面应变问题，可以用如下类似的矩阵表达式30式中的D矩阵与平面应力问题的弹性矩阵形式相同，但是需要将平面应力问题中的E用代替，用代替。对有些实际问题，例如挡土墙和重力坝的问题等，虽然其结构并不是无限长，而且在靠近两端之处的横截面也往往是变化的、并不符合无限长柱形体的条件，但这些问题很接近于平面应变问题，对于离开两端较远之处按平面应变问题进行分析计算，得出的结果是可以满足工程要求的。3.1.2轴对称问题在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束状态以及外载荷都对称于某一根轴（过该轴的任一平面都是对称面），那么弹

8、性体的所有