弹性力学典型问题的讨论ppt课件.ppt

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1、弹性力学典型问题的讨论1平面问题是工程实际中最常遇到的问题，许多工程实际问题都可以简化为平面问题来进行求解。平面问题一般可以分为两类，一类是平面应力问题，另一类是平面应变问题。2.1平面问题平面应力问题平面应变问题2平面应力问题是指，(1)所研究的对象在z方向上的尺寸很小（即呈平板状），(2)外载荷（包括体积力）都与z轴垂直、且沿z方向没有变化，(3)在z=±h/2处的两个外表面（平面）上不受任何载荷，如图1-15所示。2.1.1平面应力问题（1）平面应力问题图1-15平面应力问题3在z=±h/2处的两个外表面上的任何一点，都有z=zx=zy=0。另外

2、，由于z方向上的尺寸很小，所以可以假定，在物体内任意一点的z、zx、yz都等于零，而其余的三个应力分量x、y、xy则都是x,y的函数。此时物体内各点的应力状态就叫做平面应力状态。在平面应力状态下，由于z=zx=zy=0，所以可以很容易得到平面应力问题的平衡方程2.1.1平面应力问题（1.117）4平面应力问题的几何方程平面应力问题的物理方程2.1.1平面应力问题（1.118）（1.119）5对于平面应力问题Z方向的应变等于0吗？？2.1.1平面应力问题6与上述情况相反，如图1-16所示，（1）当物体z方向上的尺寸很长，（2）物体所受的载荷（

3、包括体积力）又平行于其横截面（垂直于z轴）且不沿长度方向（z方向）变化，即物体的内在因素和外来作用都不沿长度方向变化，那么这类问题称为平面应变问题。2.1.2平面应变问题（2）平面应变问题图1-16平面应变问题7对于平面应变问题，一般可假想其长度为无限长，以任一横截面为xy面、任一纵线为z轴，则所有应力分量、应变分量和位移分量和位移分量都不沿z方向变化，而只是x,y的函数。在这种情况下，由于任一横截面都可以看作是对称面，所以物体内各点都只能在xy平面上移动，而不会发生z方向上的移动。根据对称条件可知，zx=zy=0，并且由剪应力互等关系可以断定，xz=

4、yz=0。但是，由于z方向上的变形被阻止了，所以一般情况下z并不等于零。2.1.2平面应变问题8在平面应变状态下，由于x、y、z及xy都只是x,y的函数，而xz=yz=0，且因外力都垂直于z轴，故无z方向的分量。由应力平衡微分方程式可以看出，其中的第三个方程能够自动满足，剩余的两个式子与式（1-118）相同。2.1.2平面应变问题对于平面应变问题，因位移分量都不沿z方向变化，且w=0，故有z=zx=zy=0，所以其几何方程与平面应力问题的几何方程相同。但是，由于z=0，因而平面应变问题的物理方程与平面应力问题的物理方程不同，即（1.1

5、20）9对于平面应变问题，可以用如下类似的矩阵表达式2.1.2平面应变问题式中的D矩阵与平面应力问题的弹性矩阵形式相同，但是需要将平面应力问题中的E用代替，用代替。（1.121）10最大主应力准则最大剪应力准则最大变形能准则2.2机械结构的失效准则11最大主应力准则最早由Rankine提出，认为材料所能承受的最大主应力是引起材料失效的主要原因。因此，判断材料是否失效，只要求得材料的最大主应力。前面已述，弹性体内任一点共有三个互相垂直的主应力，即，且有，因此，只要求得而不必考虑其他两个主应力。设是材料的屈服极限，则最大主应力准则的失效判据为2.2.1最大主应力

6、准则（1.122）12由于最大主应力准则的十分简单，人们经常采用它进行初步的判定，它还可以应用于不发生屈服失效的脆性材料。但是，最大主应力准则没有在实验结果中得到足够的验证。绝大多数材料能够承受很高的各面均匀作用的静水压力而不发生断裂或永久变形。下面给出的例子就可以证明最大主应力准则不能作为很好的失效准则。2.2.1最大主应力准则132.2.1最大主应力准则如图1-17所示，一物体受应力和作用，其中为拉应力，为压应力。当杆受纯扭转时，如果和大小相等，那么在平面上，剪应力与大小相等。根据最大主应力失效准则，是有限值，但是，试验证明，对于受纯扭转塑性材料，当发生

7、屈服时，剪应力要远远小于。图1-17矩形单元的滑移面14最大剪应力准则又称Tresca理论。对于主应力，材料失效准则为2.2.2最大剪应力准则即当最大剪应力的值达到材料屈服极限Sy的一半时，材料发生失效。也可以认为是单轴拉伸试验在屈服点的剪切应力。最大剪应力理论适用于塑性材料的失效判断。（1.123）15对塑性材料进行简单拉伸或压缩试验，可以发现最大剪应力发生在与轴线成的平面上。试验中试件断裂时就沿着面断裂，即滑移线与轴线大致成。简单拉伸试验验证了最大剪应力理论。同样可以验证，对于塑性材料在三维应力状态下，最大剪应力理论也是适用的。脆性材料的拉伸试验表明，试

8、件通常不会发生塑性变形而会直接发生断裂。脆性材料的压