弹性动力学问题的建立课件.ppt

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1、第七章弹性动力学问题的建立主讲教师：欧阳辉中国地质大学力学教研室本章内容：1、说明弹性动力学的基本方程，进而明确弹性动力学问题的提法；2、阐明解决了弹性动力学问题的途径，并建立相应的方程。§7－1弹性动力学的基本方程弹性静力学问题：弹性体内各点位移、应变、应力只是位置的函数，不随时间的变化而变化。弹性动力学问题：弹性体内各点位移、应变、应力是位置和时间的函数。在弹性动力学中仍然采用理想弹性体（连续性、均匀性、各向同性、线性弹性假设）、小变形和自然状态的假设，对于弹性静力学问题而建立的几何方程和物理方程，都将适用于动力学问题的任一瞬时，形式上不用作任何改变，只是将平衡

2、微分方程用运动微分方程代替。对于弹性动力学问题，基本方程如下：直角坐标表示的方程：1、运动微分方程：2、几何方程：3、物理方程：用应变表示应力的关系式：用应力表示应变的关系式：上面15个方程可以求解15个未知量，即三个位移分量，六个应变分量，六个应力分量。这15个方程称为直角坐标表示的弹性动力学基本方程。圆柱坐标表示的方程：1、运动微分方程：2、几何方程：3、物理方程：§7－2弹性动力学的提法求解一个特定的弹性动力学问题，只有15个基本方程是不够的。因为基本方程仅一般的反映物体内部位移、应变和应力之间相互联系的普遍规律，对于一个特定的具体问题，还必须考虑相应的初始条

3、件和边界条件。每一个具体问题，都有各自的初始条件和边界条件。一、初始条件初始条件给出了弹性体中各点在时间t=0时的位移分量和速度分量。二、边界条件弹性动力学的边界条件有三种情况。1、第一边界问题给出了弹性体全部表面上的面力分量，所有边界上的边界条件由力的边界条件来表示。一般来说，面力分量既是位置（坐标）的函数，又是时间的函数。3、第三边界问题（混合边界问题）在弹性体一部分表面上给出了面力分量，另一部分表面上给出了位移分量，边界上的边界条件由力的边界条件和位移的边界条件来表示，即混合边界条件。表示表面处的位移分量也是位置（坐标）和时间的函数。2、第二边界问题给出了弹性

4、体全部表面上的位移分量，所有边界上的边界条件由位移的边界条件来表示。弹性动力学的基本方程一般控制了弹性体内各点位移、应变和应力之间的关系，而初始条件和边界条件具体地给出了每一个边界初值问题的特定规律。弹性动力学问题的提法：已知：1、弹性体的形状和尺寸，弹性体的物理性质（弹性和惯性）2、作用于弹性体上的体力3、边界条件4、初始条件求解：应用15个基本方程求出初瞬时后任一瞬时该弹性体中各点的位移、应变和应力。两种解法：1、应力解法：以应力为基本未知函数2、位移解法：以位移为基本未知函数应力法：取点的应力为基本的未知量，首先解出六个应力分量的表达式，有了应力，就可以求出应

5、变和位移。这种方法多用于弹性静力学问题，即平衡问题。位移法：取点的位移为基本的未知量，将各方程中的应力和应变都用位移表示，首先解出三个位移分量的表达式，有了位移，就可以进一步求解应变和应力。在弹性动力学中，往往只需要求出位移，或者首先需要求出位移，所以通常采用位移法。位移法的具体求解：1、从几何方程（应变-位移）和物理方程（应力-应变）中消去应变，得到表示应力-位移关系，将其代入运动微分方程，得到以位移表示的运动微分方程。2、求解位移形式的运动微分方程，就可以求出位移分量u、v、w，在求解中要用初始条件和由位移表示的边界条件来定解。3、求出位移后，按几何方程求出应变

6、，再将求出的应变代入物理方程，即得到应力表达式。§7－3以位移表示的运动微分方程Lame方程1、从几何方程（应变-位移）和物理方程（应力-应变）中消去应变，得到表示应力-位移关系代入运动微分方程，得到以位移表示的运动微分方程。拉梅方程是15个基本方程的综合。由位移法求解弹性动力学问题就归结为按给定的初始条件和边界条件积分拉梅方程，求出位移分量。求出位移后，按几何方程求出应变，再将求出的应变代入物理方程，即得到应力表达式。边界条件的变形：如果弹性体表面处的位移给定，则直接通过位移形式给出；如果弹性体表面处的面力给定，则用位移表示力的边界条件应力解法：（以应力表示的应

7、变协调方程）以应力作为基本未知函数求解基本方程。首先应力分量必须满足平衡微分方程及边界条件，由应力分量求出的应变分量还必须满足应变协调方程。§7－3弹性动力学解的唯一性定理弹性动力学问题的解是不是唯一的，用唯一性定理来回答。用应变能的有关关系证明唯一性定理。一、应变能内能：包含在物体体积内的分子动能（与温度有关）和分子间相互作用的势能的总和。内能是相对的，通常以无应变和某一均匀温度的状态作为参考状态，认为物体处于参考状态时，内能为零，相对于参考状态计算其他状态时的内能。由热力学的观点，分析其内任一点有限部分的功能变化关系。（包含区域Ω，表面为S）热力学第一定律：