弹性空间问题课件.ppt

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1、外载约束边界条件静力学动力学平衡方程几何方程本构方程边界条件及初始条件运动方程几何方程本构方程力学分析几何分析物理关系求解解析方法数值方法相互支撑引入平面问题空间问题专题位移函数法求一般解应力函数法求一般解基本解和Green函数接触问题重点：无重点。了解：全了解。定位：基础理论应用部分高端。不属现阶段课程学习的重点。目的：让同学们感受一下只有冠军的大赛气氛！位移函数法求一般解应力函数法求一般解基本解和Green函数接触问题§7.1拉梅-纳维埃方程的一般解又称为通解(GeneralSolution)，是微分方程或方程组的完备解。不完备解称为特解。一般解：位移函

2、数法求一般解：就是用位移函数表示的位移满足用位移表示的平衡方程（拉梅-纳维埃方程）。为此位移函数需满足相应约束方程。1、帕普科维奇-诺依贝尔一般解式中b0和b为单调和函数，满足2、布希涅斯克-迦辽金一般解式中a和aj(j=1,2,3)为双调和函数，满足3、轴对称问题的乐甫一般解（可由2退化得到）式中L为双调和函数，满足位移函数法求一般解应力函数法求一般解基本解和Green函数接触问题应力函数法求一般解：就是用应力函数表示的应力满足下述平衡方程。同时，为了满足用应力表示的协调方程，应力函数需满足相应约束方程。●1863年，Airy首先得到了应力函数U：验证：●

3、1868年，Maxwell利用坐标轮换，得到了较广泛的应力函数:U,V,W●1892年，Morera获得了新的应力函数:P，Q，R44●1892年，Beltrami=Maxwell+Morera●1949年,Крутков创造了左右叉乘的记号，将Beltrami应力函数写成简捷的张量形式:其中●1953年Schaefer应力函数其中：h为调和向量，I为单位张量。●1963，Gurtin利用Newton位势：证明了Schaefer应力函数的完备性。和下述恒等式：其证明如此简单令人吃惊！●Schaefer表示如此复杂，是如何想出来的？原来，Scheafer应力函

4、数表示是向量的Helmholtz分解的张量推广。比较：●为什么过去一个世纪，人们采用不完备的Beltrami解未出现大问题呢？1965年，Rieder和Calson指出：若弹性体自平衡，则Beltrami解是完备的。●为什么Southwell仅用Maxwell应力函数于余能原理中也未出错误呢？1979年，Raintman证明了指出若弹性体自平衡，则Maxwell解也是完备的。应力函数的发展：1863:Airy1868:Maxwell1892:Morera1892:Beltrami1953:Schefer1963:Gurtin1965:Carlson1979:

5、Rostainmain位移函数法求一般解应力函数法求一般解基本解和Green函数接触问题§7.2位移矢量的势函数分解（搁置）§7.3弹性空间轴对称问题（乐甫位移函数）§7.4弹性半空间问题（展开）概念：全空间单相无限体在点载荷作用下的解，称为基本解。全空间多项无限体和半空间无限体在点载荷作用下的解称为Green函数解。现在文献中常混用。它们是许多进一步解析求解和数值求解工作（如边界元法等）的基础。这种支撑作用是决定性的！思路：半逆解法给出位移或应力函数，利用边界条件确定待定常数。如何给出无限体和半无限体的边界条件？（1）无限体内一点受集中力P作用（2）半空间

6、体在其边界面上受法向集中力Pz作用（布希涅斯克问题）（3）半空间体在其边界面上受切向集中力Px作用（塞路提问题）Green’sfunctionsfortransverselyisotropicmagneto-electro-elasticmedia工作经历：供同学们参考。控制方程式中加权单调和函数j满足一般解注意式中而sj(j=1,2,3,4)满足Re(sj)>0，且是如下八阶方程的四个特征根式中ak(k=1,2,3,4,5)是由物理常数确定的常数。以上给出的是s1≠s2≠s3≠s4的一般解。当s1≠s2≠s3=s4≠s1时，一般解为当s1≠s2=s3=s

7、4时，一般解为当s1=s2=s3=s4时，一般解为以下所给出的加权单调和函数j中的花体字母都代表待定常数。无限体的Green函数解作用点电荷Q、点电流J和z向点力Pz（1）（2）（3）（4）式中作用x或y向点力Px或Py（1）（2）（3）（4）两相无限体的Green函数解IIIxyz(0,0,h)PxPzPyQJ备用函数定义：作用点电荷Q、点电流J和z向点力Pz（I1）（I1-II1）（I1-II2）（I1-II3）（I1-II4）此外有I2~4及其对应的II1~4系列，共计16对。作用x或y向点力Px或Py（I1）（I1-II1）（I1-II2）（I1-

8、II3）（I1-II4）此外有I2~4及其对应的II