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1、空间问题的基本理论第七章合肥工业大学本科生教学《弹性力学》主讲教师：袁海平(副教授、博士后)一、平衡微分方程二、物体内任一点的应力状态三、主应力最大与最小的应力四、几何方程及物理方程五、轴对称问题的基本方程例题第七章 空间问题的基本理论内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。平衡微分方程一弹性力学3空间问题的基本理论取出微小的平行六面体，考虑其平衡条
2、件:平衡微分方程一弹性力学4空间问题的基本理论由x轴向投影力的平衡微分方程可得因为x,y,z轴互相垂直，均为定向，量纲均为L，所以x,y,z坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性。平衡微分方程一弹性力学5空间问题的基本理论由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量平衡微分方程一弹性力学6空间问题的基本理论一、平衡微分方程二、物体内任一点的应力状态三、主应力最大与最小的应力四、几何方程及物理方程五、轴对称问题的基本方程例题第七章 空间问题的基本理论内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)在空间问题中，同样需要解决：由直
3、角坐标的应力分量……，来求出斜面(法线为）上的应力。物体内任一点的应力状态二弹性力学8空间问题的基本理论斜面的全应力p可表示为两种分量形式：p沿坐标向分量：p沿法向和切向分量：物体内任一点的应力状态二弹性力学9空间问题的基本理论取出如图的包含斜面的微分四面体，斜面面积为ds,则x面，y面和z面的面积分别为lds,mds,nds。由四面体的力平衡条件可得1.求物体内任一点的应力状态二弹性力学10空间问题的基本理论2.求将向法向投影，即得得由物体内任一点的应力状态二弹性力学11空间问题的基本理论设在边界上，给定了面力分量则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。斜面应
4、力分量应代之为面力分量，从而得出空间问题的应力边界条件:3.在上的应力边界条件物体内任一点的应力状态二弹性力学12空间问题的基本理论一、平衡微分方程二、物体内任一点的应力状态三、主应力最大与最小的应力四、几何方程及物理方程五、轴对称问题的基本方程例题第七章 空间问题的基本理论内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)1.假设面(l,m,n)为主面，则此斜面上斜面上沿坐标向的应力分量为：代入,得到：主应力最大与最小的应力三弹性力学14空间问题的基本理论考虑方向余弦关系式，有结论：式(a),(b)是求主应力及其方向余弦的方程。(b)主应力最大与最小的应力
5、三弹性力学15空间问题的基本理论2.求主应力将式(a)改写为：主应力最大与最小的应力三弹性力学16空间问题的基本理论上式是求解l,m,n的齐次代数方程。由于l,m,n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得展开，即得求主应力的方程,(c)主应力最大与最小的应力三弹性力学17空间问题的基本理论3.应力主向设主应力的主向为。代入式(a)中的前两式，整理后得主应力最大与最小的应力三弹性力学18空间问题的基本理论由上两式解出。然后由式(b)得出再求出及。4.一点至少存在着三个互相垂直的主应力（证明见书上）。主应力最大与最小的应力三弹性力学19空间问题的基本理论5.应力不变量若从式(c
6、)求出三个主应力，则式(c)也可以用根式方程表示为，因式(c)和(f)是等价的方程，故的各幂次系数应相等，从而得出：主应力最大与最小的应力三弹性力学20空间问题的基本理论(g)主应力最大与最小的应力三弹性力学21空间问题的基本理论所以分别称 为第一、二、三应力不变量。这些不变量常用于塑性力学之中。式(g)中的各式，左边是不随坐标选择而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关，但其和也应与坐标选择无关。主应力最大与最小的应力三弹性力学22空间问题的基本理论6.关于一点应力状态的结论：6个坐标面上的应力分量完全确定一点的应力状态。只要6个坐标面上的应力分量确定了，则通过此点的任何面
7、上的应力也完全确定并可求出。(2)一点存在着3个互相垂直的应力主面及主应力。主应力最大与最小的应力三弹性力学23空间问题的基本理论(3)3个主应力包含了此点的最大和最小正应力。(4)一点存在3个应力不变量(5)最大和最小切应力为，作用于通过中间主应力、并且“平分最大和最小正应力的夹角”的平面上。设主应力最大与最小的应力三弹性力学24空间问题的基本理论一、平衡微分方程二、物体内任一点的应力状态三、主应力最大与最小的应力四、几何方程及物理方程五、轴对称问题的基本方程例题第七章 空间问题的基本理论内容提要弹性力学简明教程
