弹性力学平面问题(基本理论).ppt

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1、§6-1平面问题的概念§6-2平面问题的基本解法第六章弹性力学平面问题§6-3应力函数与应力函数解法§6-4平面问题在直角坐标系下求解§6-5平面问题在极坐标系下求解§6-1平面问题的概念应力、应变和位移是弹性力学的3类基本未知函数，当这3类基本未知函数与第3个坐标方向（一般取z方向）无关时，则将该类问题称为平面问题。平面问题是在一个平面域内的求解问题，但并非数学上的二维问题。弹性力学平面问题分为平面应变与平面应力问题两类。一.平面应力问题xyyztba1.几何特征一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。——等厚薄平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等2.受力特征外力（体力、面力）和约

2、束，仅平行于板面作用，沿厚度方向（z方向）不变化。xyyztba3.简化分析（1）应力分量如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。板面无面力，则因板很薄，且外力沿z轴方向不变。可认为整个薄板的各点都有：由切应力互等定理因其他各应力分量沿z方向变程极短，且变化增量微小。故认为各应力分量与z无关所以平面应力问题只有三个应力分量，且仅与x、y有关。即（2）应变分量由物理方程显然可由所以平面应力问题独立的应变分量仅三个，且只与x、y有关。即但（3）位移分量通过几何方程分析由可知：u、v仅为x、y的函数当为理想平面应力问题（t=0）时，只与x、y有关。表出若为稳定平衡（不发生

3、翘曲），则w=0当为广义平面应力问题（t0）时，由可见，w可由u、v表出；且因t很小，wu、v所以平面应力问题独立的位移分量仅两个，且仅与x、y有关。（4）结论平面应力问题的基本未知量有八个，且均为x、y的函数。即但简化的主要依据是二.平面应变问题1.几何特征一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。——近似认为无限长ablxyzO2.受力特征外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。如水坝、滚柱、厚壁圆筒等。p水坝滚柱厚壁圆筒3.简化分析（1）位移分量xyyz1ba任取一横截面（与z无关），因无限长，可视为对称面，则其上任一点w0。仅

4、存u、v，且与z无关。所以（2）应变分量因位移分量与z无关，且w=0，则由几何方程易知（2）应变分量（3）应力分量由物理方程可见，独立的应力分量仅三个即但（4）结论平面应变问题的基本未知量有八个，且均为x、y的函数。即但简化的主要依据是与平面应力问题的基本未知量相同。如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题三.两种平面问题物理方程的关系根据两种平面问题的结论，可分别列出其物理方程对于平面应力问题，由z0对于平面应变问题，由zxy)与平面应力问题的物理方程形式上完全相同。故统称为平面问题§6-2平面问题的基本解法一

5、.平面问题基本方程1.平衡微分方程2.几何方程应变协调方程3.物理方程或当为平面应变问题时，E1E、1。二.边界条件1.位移边界条件2.应力边界条件在局部边界上，可由静力等效力系替代面力三.位移法仿拉梅位移方程推导平面问题用位移表示的平衡微分方程为平面问题用位移表示的应力边界条件平面问题的位移边界条件问题归结为求解上述方程的边值问题说明：（1）对平面应变问题，只需将式中的E、作相应替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。（3）对于平面应力问题，如果直接从三维形式的拉梅位移方程退化可得比较前式，系数有何差异，原因何在？说明了什么？四.应力法仿Beltrami-Mi

6、chell位移方程推导平面问题用应力表示的协调方程（相容方程）为平面问题的平衡微分方程为平面问题的应力边界条件平面问题的位移边界条件问题归结为求解平衡方程和相容方程的边值问题（平面应变用1替换）说明：（1）对位移边界问题，不易按应力求解。（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。例6-1下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为静力可能或实际可能的应力场与位移可能应变场（不计体力）。（1）（2）（a）（b）解:（1）将式（a）代入平衡方程：——满足将式（a）代入

7、相容方程：∴式（a）不是一组实际可能的应力场。（2）将式（b）代入应变表示的相容方程：式（b）满足相容方程，∴（b）为位移可能的应变分量。式（a）是静力可能的应力场例6-2如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（y0）：代入边界条件公式，有(2)BC段（xl）：(3)AC段（yxtan）:N例6-3图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分（12）的尖点A