弹性力学第二章平面问题的基本理论ppt课件.ppt

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1、第一节平面应力问题和平面应变问题第二节平衡微分方程第三节平面问题中一点的应力状态第四节几何方程刚体位移第五节物理方程第六节边界条件第二章平面问题的基本理论第二章平面问题的基本理论第七节圣维南原理及其应用第八节按位移求解平面问题第九节按应力求解平面问题相容方程第十节常应力情况下的简化应力函数弹性力学平面问题共有应力、应变和位移8个未知函数，且均为。§2-1平面应力问题和平面应变问题弹性力学空间问题共有应力、应变和位移15个未知函数，且均为；平面应力====两类特殊问题1、平面应力问题yxyzt/2t/2（4）约束作用于板边，平行于板的

2、中面，沿板厚不变。（3）面力作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变；（2）体力作用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变；条件是：第一种：平面应力问题平面应力（1）等厚度的薄板；坐标系如图选择。平面应力简化为平面应力问题：故只有平面应力　存在。由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可认为：平面应力（1）两板面上无面力和约束作用，故所以归纳为平面应力问题：a.应力中只有平面应力存在；b.且仅为。平面应力（2）由于板为等厚度，外力、约束沿z向不变，故应力　仅为。如：弧形闸门闸墩计算简图：平面应力深梁计算简图：F因表面无任何面力，平面

3、应力AB例题1：试分析AB薄层中的应力状态。故接近平面应力问题。故表面上，有：在近表面很薄一层内：第二种：平面应变问题纵向轴压力管道纵向轴水坝（2）体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；平面应变第二种：平面应变问题条件是：（1）很长的常截面柱体；（3）面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；（4）约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。坐标系选择如图：平面应变对称面故任何z面（截面）均为对称面。平面应变（1）截面、外力、约束沿z向不变，外力、约束平行xy面，柱体非常长；简化为平面应变问题：（2）由于截

4、面形状、体力、面力及约束沿向均不变，故应力、应变和位移均为。平面应变所以归纳为平面应变问题：a.应变中只有平面应变分量存在；b.且仅为。平面应变例如：平面应变隧道挡土墙oyxyox且仅为。故只有，本题中：平面应变oxyz例题2：试分析薄板中的应变状态。故为平面应变问题。§2－2平衡微分方程定义平衡微分方程--表示物体内任一点的微分体的平衡条件。在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体,作用于微分体上的力：体力：。定义应力：作用于各边上，并表示出正面上由坐标增量引起的应力增量。应用的基本假定：连续性假定─应力用连续函数来表示。小变形假

5、定─用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。列出平衡条件：合力=应力×面积，体力×体积；以正向物理量来表示。平面问题中可列出3个平衡条件。平衡条件其中一阶微量抵消，并除以得：，同理可得：平衡条件当时，得切应力互等定理,得平衡条件⑵适用的条件--连续性，小变形；说明对平衡微分方程的说明：⑴代表A中所有点的平衡条件，因位（，）∈A；⑶应力不能直接求出；⑷对两类平面问题的方程相同。理论力学考虑整体的平衡（只决定整体的运动状态）。说明⑸比较:材料力学考虑有限体的平衡（近似）。弹性力学考虑微分体的平衡（精确）。当均平衡时，保证，平衡；反之则不然。说明

6、所以弹力的平衡条件是严格的，并且是精确的。理力（V）材力（）弹力（）hVdxdydx思考题1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来检验方程的正确性）。2.将条件,改为对某一角点的，将得出什么结果？3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结果？已知坐标面上应力，求斜面上的应力。问题的提出：§2－3平面问题中一点的应力状态问题求解：取出一个三角形微分体（包含面，面，面），边长问题斜面应力表示：yxPAPBppxpyτNσNn2、平面问题中一点的应力状态几何参数：设AB面面积=ds，PB面积=lds，PA面积=mds

7、。斜面上应力分解为：由∑Y=0得：（2-3）由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得(1)求（,）(a)斜面应力其中：l=cos(n,x),m=cos(n,y)。2、平面问题中一点的应力状态yxPAPBppxpy斜面上应力分解为：τNσN（2-4）（2-5）已知P点应力σxσyτxy可求出过P点任意斜面上的正应力和剪应力（σNτN）利用（2-4）（2-5）应力在x，y轴上的投影（px，py）利用（2-3）n(2)求（）将向法向，切向投影，得斜面应力主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平主平面上的应力叫主应力。σpxpyyxAPBnσ2－

8、(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0设某一斜面为主面，则只有由此建立方程，求出:(3)求主应力斜面应力(c)主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平面，主平面上的应力叫主应力。σpxpyyxAPBn注意:①平面应力状态下,任一点