弹性力学课件02第二章 平面问题的基本理论.ppt

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1、要点——建立平面问题的基本方程和方程的求解方法包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等第二章平面问题的基本理论一、平面问题平面应力问题、平面应变问题二、平衡微分方程三、斜面上的应力四、力边界条件五、几何方程刚体位移、斜方向的正应变六、物理方程七、边界分类及边界条件八、圣维南原理九、　弹性力学问题的求解方法十、按位移求解平面问题十一、按应力求解平面问题相容方程十二、常体力情况下的简化相容方程十三、应力函数相容方程逆解法与半逆解法主要内容一、平面问题平面应力问题、平面应变问题1.平面应力问题

2、(1)几何特征：等厚薄板yzxytba特殊的几何形状平面应力问题空间问题平面问题特殊的受力情况平面应变问题受力特征：板表面不受力。板边沿受的面力和体内受的体力平行于板面作用，沿z方向不变化。(3)应力特征：由于板面上不受力，有：独立的应力分量只有三个应力分量，且仅为x、y的函数，与z无关。即符合以上三条的弹性力学问题成为平面应力问题其它应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。2.平面应变问题(1)几何特征：无限长、等截面棱柱体水坝外力特征：外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。(3)应变、应力特征：任一横

3、截面都是对称面，则有，w=0,即应力分量有，其中不独立，可以用表示。独立的应力分量仅有，仅为x,y的函数，与z无关符合以上三条的弹性力学问题成为平面应变问题其它应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。PBACDxyOyxxytt=剪应力互等为体力分量其中，二、平衡微分方程（1）斜面上应力在坐标方向的分量斜面外法线N在坐标中的方向余弦：l,m（2-4）xyOdxdydsPABPN外法线三、斜面上的应力（2）斜面上的正应力与剪应力xyOdxdydsPABPN根据合矢量投影定理正应力剪应力（3）主应力与主应力方向：参考材料力学自习

4、xyOdxdydsPABN外法线类似于斜面上应力分量分析过程平面问题的应力边界条件为面力分量其中，四、力边界条件1.几何方程一点的变形：线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；xyOPABvu变形前变形后PABuv注：略去了二阶以上高阶无穷小量。五、几何方程刚体位移、斜方向的应变xyOPABuvPA的正应变：PB的正应变：P点的剪应变：P点两直角线段夹角的变化——几何方程2.刚体位移：自习3.斜方向的正应变问题：已知，求任意方向的线应变εr和线段夹角的变化。设P点的坐标为(x，y)，N点的坐标为（x+dx，y+dy），PN的长度为dr，

5、PN的方向余弦为：于是PN在坐标轴上的投影为：xyOP(x,y)NP1N1vuN点位移：变形后的P1N1在坐标方向的投影：设PN变形后的长度P1N1=dr′，PN方向的应变为εr，由应变的定义：两边同除以(dr)2，得略去二阶小量后简化后应用：电测时应变花物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。简单胡克定律+泊松比效应+基本假设=广义胡克定律：其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；μ为侧向收缩系数，又称泊松比。六、物理方程1、平面应力问题的物理方程注：(1)(2)——物理方程的另一形式由于平面应力问题中2、平面应变问题的物理

6、方程在平面应变问题中由第三式，得注：(2)平面应变问题物理方程的另一形式(1)平面应变问题中，但两类平面问题物理方程的转换：自习边界条件：建立边界上的物理（几何）量与内部物理（几何）量间的关系是力学计算模型建立的重要环节。xyOqf边界分类（1）位移边界（2）应力边界（3）混合边界三类边界1、位移边界条件位移分量已知的边界——位移边界用us、vs表示边界上的位移分量，表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：七、边界分类及边界条件2、应力边界条件给定面力分量边界——应力边界由前面斜面的应力分析，得其中，l、m为边界外法线

7、方向余弦，为面力分量3、混合边界条件(1)物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2)在同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。图(a)：位移边界条件应力边界条件图(b)：位移边界条件应力边界条件例1、图示水坝，试写出其边界条件。由应力边界条件公式，有左侧面：右侧面：解、例2、如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1)(2)(4)(3)注：x=0的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：例3、图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明：在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。解：平面应力问题，在AC、AB

8、边界上无面力作用。由应力边界条件公式AB边界：（1）AC边界：（2）∵A点同处于AB和AC的边界，∴同时满足式（1）和（2），解得∴A点处无应力作用PPP问题的提出：求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方