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1、1.4 平面向量命题角度1平面向量的线性运算、平面向量基本定理 高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·6)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=( )A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC答案 A解析 如图,EB=-BE=-12(BA+BD)=12AB-14BC=12AB-14(AC-AB)=34AB-14AC.2.(2017全国Ⅲ·12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP
2、=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为( )A.3B.22C.5D.2答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,1),B(0,0),D(2,1).设P(x,y),由
3、BC
4、·
5、CD
6、=
7、BD
8、·r,得r=
9、BC
10、·
11、CD
12、
13、BD
14、=2×15=255,即圆的方程是(x-2)2+y2=45.易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0).由AP=λAB+μAD,得x=2μ,y-1=-λ,所以μ=x2,λ=1-y,所以λ+μ=12x-y+1.设z=12x-y+1,即12x-y+
15、1-z=0.因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上,所以圆心C到直线12x-y+1-z=0的距离d≤r,即
16、2-z
17、14+1≤255,解得1≤z≤3,所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.3.(2015全国Ⅰ·7)设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则( )A.AD=-13AB+43ACB.AD=13AB-43ACC.AD=43AB+13ACD.AD=43AB-13AC答案 A解析 如图:∵AD=AB+BD,BC=3CD,∴AD=AB+43BC=AB+43(AC-AB
18、)=-13AB+43AC.4.(2015全国Ⅱ·13)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= . 答案 12解析 由题意知存在常数t∈R,使λa+b=t(a+2b),得λ=t,1=2t,解之得λ=12.典题演练提能·刷高分1.已知两个非零向量a,b互相垂直,若向量m=4a+5b与n=2a+λb共线,则实数λ的值为( )A.5B.3C.2.5D.2答案 C解析 ∵向量m=4a+5b与n=2a+λb共线,∴存在实数t,使得m=tn,即4a+5b=t(2a+λb),又向量a,
19、b互相垂直,故a,b不共线.∴2t=4,tλ=5,解得t=2,λ=52.故选C.2.在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,BE与AC的交点为F,设AB=a,AD=b,则向量BF=( )A.13a+23bB.-13a-23bC.-13a+23bD.13a-23b答案 C解析 BF=23BE=23(BC+CE)=23(b-12a)=-13a+23b,故选C.3.(2019宁夏平罗中学高三期中)已知数列{an}是正项等差数列,在△ABC中,BD=tBC(t∈R),若AD=a3AB+a5AC,则a3a
20、5的最大值为( )A.1B.12C.14D.18答案 C解析 ∵BD=tBC,故B,C,D三点共线.∵AD=a3AB+a5AC,∴a3+a5=1,数列{an}是正项等差数列,故a3>0,a5>0,∴1=a3+a5≥2a3a5,解得a3a5≤14,故选C.4.(2019山东实验中学等四校高三联考)如图Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D,设AB=a,AC=b,则向量AD=( )A.a+bB.12a+bC.a+12bD.a+23b答案 C解析 设圆的半
21、径为r,在Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,所以∠BAC=π3,∠ACB=π6,∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D,所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=π6,则根据圆的性质有BD=CD=AB.又因为在Rt△ABC中,AB=12AC=r=OD,所以四边形ABDO为菱形,所以AD=AB+AO=a+12b.故选C.5.已知在△ABC中,D为边BC上的点,且BD=3DC,点E为AD的中点,BE=mAB+nAC,则m+n= . 答案 -12解析 如图所示,BE=BD+DE=BD-12AD=
22、BD-12(AB+BD)=12BD-12AB=12·34BC-12AB=38BC-12AB=38(AC-AB)-12AB=-78AB+38AC.又BE=mAB+nAC,所以mAB+nAC=-78AB+38AC,所以m+78AB+n-38AC=0.又因为AB与AC不共线,所以m=-78,n=38,所以m+n=-12.6.在平面向量中有如下定理:设点O,P,Q,R为同一平面内的点,则P、Q、R三点共线的充要条件是:存在实数t,使OP=(1-t)OQ+tOR.试利用该定理解
