阅读与思考　为什么√2不是有理数.ppt

《阅读与思考　为什么√2不是有理数.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、为什么说√2不是有理数——√2为无理数的证明方法探究探究公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯有一种观点，即“万物皆数”，一切量都可以用真实或整数的比（分数）表示，后来，当这一学派的希帕索斯发现边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，即√2不是有理数时，毕达哥拉斯学派感到惶恐不安。由此还引发了一次数学危机……下面请打开八上P88无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。那么，什么是无理数呢？假设根号2为有理数,那么存在两个互质的正

2、整数p,q,使得:√2=p/q于是：p=（√2）q两边平方得：p^2=2q^2由2q^2是偶数，可得p^2是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。因此可设p=2s,代入上式，得：4s^2=2q^2,即，q^2=2s^2.所以q也是偶数。这样，p,q都是偶数，不互质，这与假设p,q互质矛盾。这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数。毕达哥拉斯，古希腊数学家、哲学家。把BD减去BC，剩下一段DE。以DE为边做一个新的小正方形DEFG，那么显然DE=EF=FC（∵△EDF

3、为等腰直角且△BEF≌△BCF）。接下来我们应该在BC和DE间辗转相除。BC就等于CD，CD减去一个DE相当于减去一个FC，就只剩下一段DF了。现在轮到DE和DF之间辗转相除，而它们是一个新的正方形的边和对角线，其比例正好与最初的BC和BD相当。于是，这个操作再次回到原问题，并且无限递归下去。最后的结论用我们的话说就是，不存在一个数x使得BC和BD的长度都是x的整倍数。于是，BD/BC不能表示为两个整数之比p/q（否则BD/p=BC/q，这就成为了那个x）。假设(p/q)^2=2，那么p^2=2q^2。

4、我们将要证明，一个数的平方等于另一个数的平方的两倍是根本不可能的。如果对一个平方数分解质因数，它必然有偶数个因子。于是，p^2有偶数个质因子，q^2有偶数个质因子，2q^2有奇数个质因子。等号左边的数有偶数个质因子，等号右边的数有奇数个质因子，大家都知道这是不可能的，因为同一个数只有一种分解质因数的方法。同样是证明不存在整数p,q，使得p^2=2q^2，这个证明只需一句话。假如p、q是最小的正整数使得p^2=2q^2，看图，两个边长为q的小正方形放在一个边长为p的大正方形里，那么图中深灰色正方形的面积就

5、等于两个白色正方形面积之和，于是我们就找到了具有同样性质的更小的整数p和q。仔细体会一下这个“面积守恒”，如果A+B=C，那么A和B重复计算了的必然是C里还没有算过的。因为(n/m)^2=2,所以n/m不可能是整数，于是把它写成小数形式，而有限小数的平方不可能是整数。如果n/m不是有限小数的话，可以把它转换成另外的进制使得n/m是有限小数，因而上面的结论仍然成立。