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《2020版高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程学案含解析新人教B版选修2-1.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程学习目标 1.了解直线的方向向量，了解直线的向量方程.2.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.3.会用向量证明两条直线垂直.4.会利用向量求两条直线所成的角．知识点一 用向量表示直线或点在直线上的位置1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)在直线l上给定一个定点A和它的一个方向向量a，对于直线l上的任意一点P，则有＝ta或＝＋ta或＝(1－t)＋t(＝a)，上面三个向量等式都叫做空间直线的向量参数方程．向量a称为该直线的方向向量．2．线段AB的中点M的向量表达式＝(＋)．知识点
2、二 用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行1．设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合⇔v1∥v2.2．已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l在α内⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.3．已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合⇔v1∥β且v2∥β.知识点三 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角1．用向量运算证明两条直线
3、垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量，则l1⊥l2⇔v1⊥v2，cosθ＝
4、cos〈v1，v2〉
5、.2．求两直线所成的角应注意的问题在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取其补角作为两直线的夹角．1．直线l的方向向量是唯一的．( × )2．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( √ )3．若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也
6、是直线l的一个方向向量．( × )4．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．( × )题型一 空间中点的位置确定例1 已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：(1)AP∶PB＝1∶2；(2)AQ∶QB＝2∶1.求点P和点Q的坐标．解 (1)由已知，得＝2，即－＝2(－)，＝＋.设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(x，y，z)＝(2,4,0)＋(1,3,3)，即x＝＋＝，y＝＋＝，z＝0＋1＝
7、1.因此，P点的坐标是.(2)因为AQ∶QB＝2∶1，所以＝－2，－＝－2(－)，＝－＋2，设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示，得(x′，y′，z′)＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)，即x′＝0，y′＝2，z′＝6.因此，Q点的坐标是(0,2,6)．反思感悟 确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列方程解得．跟踪训练1 已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为( )A.B.C.D.答案 C解析 设C(x，y，z)，∵C为线段AB上一点且＝
8、，∴＝，即(x－4，y－1，z－3)＝(－2，－6，－2)，∴x＝，y＝－1，z＝.题型二 向量方法处理平行问题例2 如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′，点M，N分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点．求证：MN∥侧面AD′；MN∥AD′，并且MN＝AD′.证明 设＝a，＝b，＝c，则＝(a＋c)，＝c＋(a＋b)，所以＝－＝(b＋c)．因为MN不在平面AD′内，所以MN∥平面AD′.又因为b＋c＝，所以＝，所以MN∥AD′，MN＝AD′.反思感悟 (1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共
9、线、共面定理．(2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点．跟踪训练2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2.点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS.证明 方法一 设＝a，＝b，＝c，则＝＋＋＝c－a＋b，＝＋＋＝b－a＋c，∴＝，∴∥，又∵R∉MN，∴MN∥RS.方法二 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则根据题意得M，N(0,2,2)，R(3
10、,2,0)，S.∴＝，＝，＝，∴∥，∵M∉RS，∴MN∥RS.题型三 两直线所成的角的求解例3 已知三棱锥O—ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值．解 设＝a，＝b，＝c，
