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《高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程课堂导学案新人教b版选修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程课堂导学三点剖析一、直线的方向向量【例1】已知点A(1,3,0),B(2,4,3)以的方向为正向,建立数轴,试求点P,使得∶=1∶3.思路分析：求点P,不妨先设P(x,y,z)再利用条件构造等式.解：设P(x,y,z)，由已知=3，∴=3()，∴4=+3，=+，∴(x,y,z)=(2,4,3)+(1,3,0)=(,,).∴x=,y=,z=,即点P(,,).温馨提示求一点坐标,通常先设出点,再寻找条件等式或构造方程组求解.二、平行与垂直【例2】已知三棱锥O—ABC中，OA=OB=1，OC=2，OA
2、，OB，OC两两垂直，如何找出一点D，使BD∥AC，DC∥AB？思路分析:首先建立空间直角坐标系，利用点的坐标来解决平行问题.解：建立如下图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).由BD∥AC,DC∥AB∥,∥,因此即D点的坐标为(-1,1,2).温馨提示将线(或线段)的关系转化为向量关系,再过渡到空间直角坐标系中来是求解的关键.三、角和距离问题【例3】如下图,SA⊥面ABC,AB⊥BC,SA=AB=BC,求异面直线SC与AB所成角的余弦值.思路分析:可先建立空间直角坐标
3、系,利用点的坐标求余弦值.将几何问题代数化.解:以点A为坐标原点,AC为y轴的正向建立空间直角坐标系.设SA=AB=BC=a,则B(a,a,0),C(0,a,0),S(0,0,a)那么AB=(a,a,0),=(0,,-a).由cos〈,〉=.故SC与AB所成角的余弦值为.温馨提示在求解有关角或距离的问题时,根据条件合理建立空间直角坐标系是求解的关键.各个击破类题演练1已知A(1,1,0),B(2,2,3),且=,求点C坐标.解析:设C(x,y,z).由=,得=,=+,∴(x,y,z)=(1,1,0)+(2,2,3)=(,,3),∴C(
4、,,3).变式提升1已知梯形ABCD中,AB∥CD,其中A(1,1,2),B(2,3,4),若C点(0,1,1),D点为(2,x,y),试求D点坐标.解析:=(1,2,2),=(2,x-1,y-1),则.得x=5,y=5.∴D点坐标为(2,5,5).类题演练2已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且
5、PQ
6、=，确定P、Q的位置，使得QB1⊥PD1.解析：(1)建立如右图所示的空间直角坐标系,设BP=t,得CQ=,DQ=2，那么B1(2,0,2),D1(0,2,2),P(2,t,0),Q(2,2
7、,0).从而=(,-2,2),=(-2,2-t,2).由QB1⊥PD1·=0，即-2(2-t)+4=0t=1.故P、Q分别为BC、CD的中点时，QB1⊥PD1；变式提升2棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点.求证：EF⊥CF.证明:建立空间直角坐标系O—xyz,则D（0，0，0）,E(0,0,),F(,,0),G(1,1,),C(0,1,0),∴=(,,-),=(,-,0),∴·=×+×()+0=0.∴CF⊥EF.类题演练3知边长为4的正方形ABCD所在平面外一点P与正方形的中心O的
8、连线PO垂直于平面ABCD,且PO=6,求PO的中点M到△PBC的重心N的距离.解：建立如右图所示的空间直角坐标系，则B（2，2，0），C（-2，2，0），P（0，0，6）,由题意得M（0，0，3），N（0，，2）.于是
9、MN
10、==.故M到△PBC的重心N的距离为.变式提升3正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为1，E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点.(1)求与所成角的余弦;(2)求CE的长.解析：建立空间直角坐标系，=（，，-），=（1，0，），=（0，-1，）.(1)∵·=,
11、
12、=，
13、
14、=.∴cos〈,〉=(2)
15、
16、=
17、.
