2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程学案新人教B版选修2_1.doc

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1、3．2.1　直线的方向向量与直线的向量方程　1.了解直线的方向向量的意义．　2.会求直线的向量方程．　3.掌握用向量的方法证明平行、垂直等问题．1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)直线的方向向量与直线平行或共线的非零向量，叫做此直线的方向向量．(2)空间直线的向量参数方程点A为直线l上的定点，a为直线l的一个方向向量，点P为直线l上任一点，t为一个任意实数．以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程．(3)线段中点的向量表示式设点M是线段AB的中点，则＝(＋)．2．用向量方法证明线线平行、线面平行、面面平行(1)设空间直线l1与l2的方向向量分别为v1，

2、v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2．(2)已知两个非零向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则l∥α(或l⊂α)⇔存在两个实数x，y，使v＝x__v1＋yv2．(3)平面与平面平行已知两个不共线的向量v1，v2与平面α共面，则α∥β或α与β重合⇔v1∥β且v2∥β．3．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成角为θ(锐角)，则直线方向向量间的夹角与θ相等或互补．设直线l1与l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2，cosθ＝

3、cos〈v1，v2〉

4、．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×

5、”)(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．(　　)(2)两直线的方向向量平行，则两直线平行．(　　)13(3)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×2．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)A．(1，2，3)　　　　　　　　B．(1，3，2)C．(2，1，3)D．(3，2，1)答案：A3．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于(　　)A．30°B．150°C．30°或150°D．以上均错答案：

6、A　确定直线上任一点的位置　已知O是坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5)．(1)若＝(－)，求P点的坐标；(2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标．【解】　(1)＝(－1，1，5)，＝(－3，－1，5)．＝(－)＝×(2，2，0)＝(1，1，0)．所以P点的坐标为(1，1，0)．(2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，知＝.设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－3，y－4，z)，＝(2－x，5－y，5－z)，故(x－3，y－4，z)＝(2－x，5－y，5－z)，13即，

7、得.因此P点的坐标为.利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置．　　已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点，且AC＝AB，则C点坐标为(　　)A．B．C．D．解析：选C．设C(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)，又＝(－2，－6，－2)，＝，所以(x－4，y－1，z－3)＝(－2，－6，－2)，解得x＝，y＝－1，z＝，所以C，故选C．　用向量法证明平行问题　已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE

8、；(2)平面ADE∥平面B1C1F.【证明】　如图所示建立空间直角坐标系Dxyz，13则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，所以＝(0，2，1)，＝(0，2，1)．(1)因为＝，所以AE∥FC1.又FC1⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2)因为＝(2，2，1)，＝(2，2，1)，所以＝，所以FB1∥DE.又FB1⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，所以FB1∥平面ADE，又由(1)知FC1∥平面ADE，而FB1∩FC1＝F，所以平面ADE∥平

9、面B1C1F.用向量方法证明空间中的平行关系线线平行设直线l1、l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝kb(k∈R).线面平行①根据线面平行的判定定理，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.②证明一条直线l与一个平面α平行，只需证明l的方向向量能用平面α内两个不共线向量线性表示.面面平行转化为相应的线线平行或线面平行.　在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P、Q、R、S分别是AA1、D1C1、AB、CC1的中点．证明：PQ∥RS.证明：法一：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线

10、分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dx