高中数学3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程学案新人教b版选修2

高中数学3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程学案新人教b版选修2

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1、3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程1.理解直线的方向向量,了解直线的向量方程.2.会用向量的方法证明线线、线面、面面平行.(重点)3.会用向量证明两条直线垂直,会利用向量求两条直线所成的角.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 用向量表示直线或点在直线上的位置阅读教材P95~P96“例1”,完成下列问题.1.给定一个定点A和一个向量a,再任给一个实数t,以A为起点作向量=ta ①,这时点P的位置被t的值完全确定.当t在实数集R中取遍所有值时,点P的轨迹是通过点A且平行于向量a的一条直线l.反之,在直线l上任取一点P,一定存在一个实数t,使

2、=ta.向量方程①通常称作直线l以t为参数的参数方程.向量a称为该直线的方向向量.图3212.对空间任一个确定的点O,点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t,满足等式=+ta. ②如果在l上取=a,则②式可化为=(1-t)+t. ③①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程,它们都与平面的直线向量参数方程相同.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)直线l的方向向量的基线与l一定重合.(  )(2)直线l的方向向量a一定是单位向量.(  )(3)已知A,B,P三点共线,O为空间中任一点,若=x+y,则x+y=1.(  )(4)若点A(-1,0,

3、1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的向量参数方程可以为=t.(  )【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√教材整理2 用向量证明直线、平面间的平行关系阅读教材P97~P98内容,完成下列问题.1.设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则由向量共线的条件,得l1∥l2或l1与l2重合⇔v1∥v2.2.已知两个不共线向量v1,v2与平面α共面,一条直线l的一个方向向量为v,则由共面向量定理,可得l∥α或l在α内⇔存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2.3.已知两个不共线的向量v1,v2与平面α共面,则由两平面平行的判定与性质,

4、得α∥β或α与β重合⇔v1∥β且v2∥β.1.直线l的方向向量为a,平面α内两共点向量,,下列关系中能表示l∥α的是(  )A.a=      B.a=kC.a=p+λD.以上均不能【答案】 D2.若a=(4-2m,m-1,m-1),b=(4,2-2m,2-2m)分别为直线l1,l2的方向向量,且l1∥l2,则实数m=________.【解析】 ∵l1∥l2,∴a∥b,∴=,解得m=3.当m=1时,也适合题意,故m=1或3.【答案】 1或3教材整理3 利用向量证明两直线垂直及求夹角阅读教材P99~P101内容,完成下列问题.1.设直线l1和l2所成

5、的角为θ,方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2⇔v1⊥v2,cosθ·

6、cos〈v1,v2〉

7、.2.求两直线所成的角应注意的问题在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1,v2,所以cos〈v1,v2〉=.但要注意,两直线的夹角与〈v1,v2〉并不完全相同,当〈v1,v2〉为钝角时,应取其补角作为两直线的夹角.1.设l1的方向向量a=(1,3,-2),l2的方向向量b=(-4,3,m),若l1⊥l2,则m等于________.【解析】 ∵l1⊥l2,∴1×(-4)+3×3+(-2)·m=0,∴m=.【答案】 2.若直线l1的方向向量

8、与l2的方向向量的夹角是150°,则l1与l2这两条异面直线所成的角等于________.【解析】 由异面直线所成角的定义可知,l1与l2所成的角为180°-150°=30°.【答案】 30°[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:________________________________________________________解惑:________________________________________________________疑问2:_______________________

9、_________________________________解惑:________________________________________________________疑问3:________________________________________________________解惑:________________________________________________________[小组合作型]确定直线上点的位置 已知O是坐标原点,A,B,C三点的坐标分别为A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5).

10、(1)若=(-),求P点的坐标;(2)若P是线段AB上的一点,且AP∶PB=1∶2,求P点的坐标.【精彩点拨】 (1)由条

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