高中数学 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程学案 新人教B版选修.doc

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1、3.2.1　直线的方向向量与直线的向量方程1．理解直线的方向向量，了解直线的向量方程．2．会用向量的方法证明线线、线面、面面平行．(重点)3．会用向量证明两条直线垂直，会利用向量求两条直线所成的角．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1　用向量表示直线或点在直线上的位置阅读教材P95～P96“例1”，完成下列问题．1.给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量＝ta　①，这时点P的位置被t的值完全确定．当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是通过点A且平行于向量a的一条直线l.反之，在直线l上任取一点P

2、，一定存在一个实数t，使＝ta.向量方程①通常称作直线l以t为参数的参数方程．向量a称为该直线的方向向量．图3212．对空间任一个确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式＝＋ta.　②如果在l上取＝a，则②式可化为＝(1－t)＋t.　③①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与平面的直线向量参数方程相同．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l的方向向量的基线与l一定重合．(　　)(2)直线l的方向向量a一定是单位向量．(　　)(3)已知A，B，P三点共线，O为空间中任一点，若＝x＋y

3、，则x＋y＝1.(　　)(4)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的向量参数方程可以为＝t.(　　)【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√教材整理2　用向量证明直线、平面间的平行关系阅读教材P97～P98内容，完成下列问题．1．设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合⇔v1∥v2.2．已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l在α内⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.3．

4、已知两个不共线的向量v1，v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合⇔v1∥β且v2∥β.1．直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中能表示l∥α的是(　　)A．a＝　　　　　　B．a＝kC．a＝p＋λD．以上均不能【答案】　D2．若a＝(4－2m，m－1，m－1)，b＝(4,2－2m,2－2m)分别为直线l1，l2的方向向量，且l1∥l2，则实数m＝________.【解析】　∵l1∥l2，∴a∥b，∴＝，解得m＝3.当m＝1时，也适合题意，故m＝1或3.【答案】　1或3教材整理3　利

5、用向量证明两直线垂直及求夹角阅读教材P99～P101内容，完成下列问题．1．设直线l1和l2所成的角为θ，方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2，cosθ·

6、cos〈v1，v2〉

7、.2．求两直线所成的角应注意的问题在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取其补角作为两直线的夹角．1．设l1的方向向量a＝(1,3，－2)，l2的方向向量b＝(－4，3，m)，若l1⊥l2，则m等于___

8、_____．【解析】　∵l1⊥l2，∴1×(－4)＋3×3＋(－2)·m＝0，∴m＝.【答案】　2．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于________．【解析】　由异面直线所成角的定义可知，l1与l2所成的角为180°－150°＝30°.【答案】　30°[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：___________

9、_____________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：______________________________________

10、__________________[小组合作型]确定直线上点的位置　已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3,4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)．(1)若＝(－)，求P点的坐标；(2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标．【精彩点拨】　(1)由条