2018版高中数学人教b版选修2-1学案：3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程

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1、2018年人教B版高中数学选修2-1学案3.2.1　直线的方向向量与直线的向量方程学习目标　1.理解直线的方向向量，了解直线的向量方程.2.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.3.会用向量证明两条直线垂直.4.会利用向量求两条直线所成的角．知识点一　用向量表示直线或点在直线上的位置思考　在平面中，可以用向量确定平面上一点的位置或点的集合．空间中一点的位置或点的集合怎样确定？梳理　用向量表示直线或点在直线上的位置(1)在直线l上给定一个定点A和它的一个方向向量a，对于直线l上的任意一点P，则有＝________或＝________或＝________(＝a)，上面三个向量等式都叫做空间直线

2、的______________．向量a称为该直线的方向向量．(2)线段AB的中点M的向量表达式＝__________________.知识点二　用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行1．设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合⇔__________.2．已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l在α内⇔________________________________.3．已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重

3、合⇔________________.知识点三　用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角82018年人教B版高中数学选修2-1学案1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θ，ν1和ν2分别是l1和l2的方向向量，则l1⊥l2⇔________，cosθ＝__________.2．求两直线所成的角应注意的问题在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取其________作为两直线的夹角．类型一　空间中点的位置确定例1　已知点A(2

4、，4，0)，B(1，3，3)，如图，以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：(1)AP∶PB＝1∶2；(2)AQ∶QB＝2.求点P和点Q的坐标．反思与感悟　确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列方程解得．跟踪训练1　已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为(　　)A.B.C.D.类型二　向量方法处理平行问题例2　如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点M，N分别是面对角线A′B与面对角82018年人教B版高中数学选修2-1学案线A′C′的中点．求证：MN∥侧面AD′；MN∥AD′，并且MN＝AD′.反

5、思与感悟　(1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理．(2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点．跟踪训练2　(1)在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2.点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS.(2)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE.类型三　两直线所成的角的求解例3　已知三棱锥O—ABC(如图)，O

6、A＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值．反思与感悟　向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是[0，π]，而异面直线所成角的范围是，故异面直线所成角的余弦值一定大于等于0.82018年人教B版高中数学选修2-1学案跟踪训练3　长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．1．若直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则(　　)A．l1∥l2B．l

7、1⊥l2C．l1、l2相交但不垂直D．不能确定2．设l1的方向向量a＝(1，3，－2)，l2的方向向量b＝(－4，3，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　)A．1B.C.D．33．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)A．(1，2，3)B．(1，3，2)C．(2，1，3)D．(3，2，1)4．已知向量a＝(4－2m，m－1，m－1)，b＝(4，2－2m，2－2m)，若