高中数学第三章3.3.2利用导数研究函数的极值课后导练新人教选修.docx

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1、3.3.2利用导数研究函数的极值课后导练基础达标1.若函数y=f(x)可导,则“f′(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的(  )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A2.函数y=1+3x-x3有(  )A.极小值-2,极大值2B.极小值-2,极大值3C.极小值-1,极大值1D.极小值-1,极大值3解析:y′=3-3x2=3(1+x)(1-x).令y′=0得x1=-1,x2=1.当x<-1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数;当-10,函数y=1+3x-x3是增

2、函数;当x>1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数.∴当x=-1时,函数y=1+3x-x3有极小值-1;当x=1时,函数y=1+3x-x3有极大值3.答案:D3.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a等于(  )A.2B.3C.4D.5解法一:(直接法)f′(x)=3x2+2ax+3,则x=-3为方程3x2+2ax+3=0的根,所以a=5.故选D.解法二:(验证法)当a=2时,f′(x)=3x2+4x+3=0,无解,排除A;当a=3时,f′(x)=3x2+6x+3=0,x=-1,不满足

3、条件,排除B;当a=4时,f′(x)=3x2+8x+3=0,其根不满足条件,排除C,故选D.答案:D4.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的(  )A.极大值为,极小值为0B.极大值为0,极小值为-C.极小值为-,极大值为0D.极小值为0,极大值为解析:∵f(x)与x轴切于(1,0)点,∴f′(x)=3x2-2px-q.∴f′(1)=3-2p-q=0.又f(1)=1-p-q=0,∴p=2,q=-1.∴f(x)=x3-2x2+x.∴fmax=,fmin=f(1)=0.故选A.答案:A5.三次

4、函数当x=1时有极大值4,当x=3时,有极小值0,且函数过原点,则此函数是(  )A.y=x3+6x2+9xB.y=x3-6x2+9xC.y=x3-6x2-9xD.y=x3+6x2-9x解析:三次函数过原点,可设f(x)=x3+bx2+cx,f′(x)=3x2+2bx+c,由题设知,f′(1)=3+2b+c=0,f′(3)=27+6b+c=0,∴b=-6,c=9.∴f(x)=x3-6x2+9x;f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).当x=1时,f(x)max=4;当x=3时,f(x)min=0,满足条件.答案:B

5、6.函数f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)内有极小值,则b的取值范围是_______________.解析:利用导数,由题设可得f′(x)=3x2-3b,若该函数在(0,1)内有极小值时,只需该二次函数的较大根在此区间内即可,即00)的极大值为正数,极小值为负数,则a的范围是_______________.解析:f′(x)=3x2-3a2=3(x-a)(x+a)(a>0),令f′(x)=0,得x=±a,当-a

6、函数递减;当x>a或x<-a时,f′(x)>0,函数递增.∴f(-a)=-a3+3a3+a>0,f(a)=a3-3a3+a<0,解得a>.答案:a>8.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为_______________.解析:x=2是f(x)的极大值点,∵f(x)=x(x2-2cx+c2),∴f′(x)=x(2x-2c)+x2-2cx+c2=3x2-4cx+c2.∴f′(2)=c2-8c+12=0.∴c=2或c=6.当c=2时,不能取极大值,∴c=6.答案:69.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在

7、x=±1时取得极值,且f(1)=-1,(1)试求常数a、b、c的值;(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值,并说明理由.解:(1)由f′(-1)=f′(1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0.又f(1)=-1,∴a+b+c=-1.∴a=,b=0,c=-.(2)f(x)=x3-x,∴f′(x)=x2-=(x-1)(x+1);当x<-1或x>1时,f′(x)>0;当-1

8、=1;当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1.10.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点,(1)试确定常数a和b的值;(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值,并说明理由.解:(1)∵f(x)=alnx

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