高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数的应用 3.3.2 利用导数研究函数的极值课后导练 新人教b版选修1-1

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1、3.3.2利用导数研究函数的极值课后导练基础达标1.若函数y=f(x)可导，则“f′(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的(　　)A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A2.函数y=1+3x-x3有(　　)A.极小值-2，极大值2B.极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值1D.极小值-1，极大值3解析：y′=3-3x2=3(1+x)(1-x).令y′=0得x1=-1,x2=1.当x<-1时，y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数；当-10,函数y=1+

2、3x-x3是增函数；当x>1时，y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数.∴当x=-1时，函数y=1+3x-x3有极小值-1；当x=1时，函数y=1+3x-x3有极大值3.答案：D3.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值，则a等于(　　)A.2B.3C.4D.5解法一：(直接法)f′(x)=3x2+2ax+3,则x=-3为方程3x2+2ax+3=0的根，所以a=5.故选D.解法二：(验证法)当a=2时，f′(x)=3x2+4x+3=0,无解，排除A；当a=3时，f′(x)=3x2+6

3、x+3=0,x=-1,不满足条件，排除B；当a=4时，f′(x)=3x2+8x+3=0,其根不满足条件，排除C，故选D.答案：D4.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的(　　)A.极大值为，极小值为0B.极大值为0，极小值为-C.极小值为-，极大值为0D.极小值为0，极大值为解析：∵f(x)与x轴切于(1，0)点，∴f′(x)=3x2-2px-q.∴f′(1)=3-2p-q=0.又f(1)=1-p-q=0,∴p=2,q=-1.∴f(x)=x3-2x2+x.∴fmax=,fmi

4、n=f(1)=0.故选A.答案：A5.三次函数当x=1时有极大值4，当x=3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是(　　)A.y=x3+6x2+9xB.y=x3-6x2+9xC.y=x3-6x2-9xD.y=x3+6x2-9x解析：三次函数过原点，可设f(x)=x3+bx2+cx,f′(x)=3x2+2bx+c,由题设知，f′(1)=3+2b+c=0,f′(3)=27+6b+c=0,∴b=-6,c=9.∴f(x)=x3-6x2+9x;f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).当x=1时，f(x)max

5、=4;当x=3时，f(x)min=0,满足条件.答案：B6.函数f(x)=x3-3bx+3b在(0，1)内有极小值，则b的取值范围是_______________.解析：利用导数，由题设可得f′(x)=3x2-3b,若该函数在(0，1)内有极小值时，只需该二次函数的较大根在此区间内即可，即00)的极大值为正数，极小值为负数，则a的范围是_______________.解析：f′(x)=3x2-3a2=3(x-a)(x+a)(a>

6、0),令f′(x)=0,得x=±a,当-aa或x<-a时，f′(x)>0，函数递增.∴f(-a)=-a3+3a3+a>0,f(a)=a3-3a3+a<0,解得a>.答案：a>8.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值，则常数c的值为_______________.解析：x=2是f(x)的极大值点，∵f(x)=x(x2-2cx+c2),∴f′(x)=x(2x-2c)+x2-2cx+c2=3x2-4cx+c2.∴f′(2)=c2-8c+12=0.∴c=2或c=6.当c=2时

7、，不能取极大值，∴c=6.答案：69.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=-1,(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.解：(1)由f′(-1)=f′(1)=0，得3a+2b+c=0，3a-2b+c=0.又f(1)=-1，∴a+b+c=-1.∴a=,b=0,c=-.(2)f(x)=x3-x，∴f′(x)=x2-=(x-1)(x+1)；当x<-1或x>1时，f′(x)>0；当-1

8、-1)和(1,+∞)上为增函数，在(-1,1)上为减函数.∴当x=-1时，函数取得极大值f(-1)=1；当x=1时，函数取得极小值f(1)=-1.10.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点，(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.解：(1)∵f(x)=alnx