高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.2利用导数研究函数的极值课堂导学案新人教b版选修1

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1、3.3.2利用导数研究函数的极值课堂导学三点剖析一、求函数极值【例1】确定函数f(x)=在区间［-2,2］上的单调性并求f(x)在区间［-2,2］上的极大值、极小值、最大值和最小值.解析：由已知得f′(x)=,令f′(x)=0,解得x=-1或x=1.列出下表：x-2(-2,-1)-1(-1,1)1(1,2)2f′(x)-0+0-f(x)极小值极大值由表可知：f(x)的极小值是f(-1)=;极大值是f(1)=.又f(-2)=-,f(2)=,∴f(x)在区间［-2,2］上的最大值是，最小值是-.温馨提示即函数f(x)=的定义域为R.又∵=0,∴f(x)在R上的最大值与最小

2、值还分别为和-.又f(0)=0,∴函数f(x)=在R上的值域为［-,］.二、极值的应用【例2】已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试确定a、b的值，并求出f(x)的极值.思路分析：先利用极值点是导函数对应方程的根，以及极值点的两个坐标满足函数关系式列出方程组，即可求出a、b的值，再求函数f(x)的单调区间.解：由已知，得f(1)=1-3a+2b=-1,又f′(x)=3x2-6ax+2b①∴f′(1)=3-6a+2b=0②由①②得a=,b=-.故函数的解析式为f(x)=x3-x2-x.由此得f′(x)=3x2-2x-1,由二次函数的性质，当

3、x<-或x>1时，f′(x)>0；当-0,得x<-1或x>;由f′(x)<0,得

4、-1

5、下表：x(-∞,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+∞)y′-不存在+0-不存在+y极小值极大值极小值∴当x=0时，y极小值=0.当x=1时，y极大值=1.x=2时,y极小值=0.类题演练2若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值，求a的取值范围.解：f(x)为三次函数.f′(x)为二次函数.要使f(x)既有极大值又有极小值，需f′(x)=0有两个不相等的实数根，从而有Δ=(2a)2-4(a+2)>0，解得a<-1或a>2.变式提升2如果函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足b2-3ac<0,a≠0,求证：函数f(x)无极值.证明：f′(x

6、)=3ax2+2bx+c当a>0时，∵Δ=4b2-12ac<0∴f′(x)>0恒成立，f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.f(x)无极值.当a<0时，∵Δ=4b2-12ac<0∴f′(x)<0恒成立，f(x)在(-∞,+∞)内单调递减，f(x)无极值.类题演练3设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.试确定常数a和b的值.解：f′(x)=+2b+1∵f′(1)=f′(2)=0∴解得∴f(x)=-lnx-x2+x变式提升3设a<0证明：f(x)=取得极大值和极小值的点各1个.证明：f′(x)==,令f′(x)=0,即ax2+2bx-a=0,①.

7、∵Δ=4b2+4a2>0,∴方程①式有两个不相等的实根，记为x1、x2，不妨设x1