高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数的应用 3.3.2 利用导数研究函数的极值学案 新人教b版选修1-1

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1、3.3.2　利用导数研究函数的极值1．了解函数的极值和最值的有关概念．2．会用函数的导数求函数的极值和最值．1．极值的概念已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有________，则称函数f(x)在________处取极大值，记作y极大值＝f(x0)，并把______称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有__________，则称函数f(x)在______处取极小值，记作y极小值＝f(x0)，并把______称为函数f(x)的一个极小值点．________与________统称为极值

2、．________与________统称为极值点．(1)函数f(x)在点x0及其附近有定义是指在点x0及其左右邻域都有意义．(2)极值是一个局部概念，是相对某一点左右两侧邻域而言．(3)极值总是函数f(x)定义域中的内点，因而端点绝对不是函数的极值点．(4)函数f(x)在其定义域内的极值点可能不止一个，也可能没有．函数的极大值与极小值没有必然的大小关系，函数的一个极小值不一定小于极大值．【做一做1】在下图中x1是函数的极__________值点，x2是函数的极__________值点．(填“大”或“小”)2．求可导函数y＝f(x)极值的

3、步骤(1)求__________．(2)求方程________的所有实数根．(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，__________的符号如何变化．如果f′(x)的符号________，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号__________，则f(x0)是极小值；如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值．极值点与导数为0的点的关系：(1)导数为0的点不一定是极值点．如函数f(x)＝x3，在x＝0处的导数是0，但它不是极值点．对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要不充分条件．(2)函数

4、的导数不存在的点也可能是极值点．如函数f(x)＝

5、x

6、，在x＝0处，左侧(x＜0时)，f′(x)＝－1＜0，右侧(x＞0时)，f′(x)＝1＞0，当x＝0时，f(x)＝0，x＝0是f(x)的极小值点，但f′(0)不存在．【做一做2】方程f′(x)＝0的根一定是函数f(x)的极值点吗？3．求可导函数y＝f(x)在[a，b]的最大(小)值的步骤(1)求f(x)在开区间(a，b)内的__________．(2)计算函数f(x)在________和________的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．(1)函数的极值表示函数在一

7、点附近的情况，是对函数局部的函数值的比较；函数的最值表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．(2)函数的极值不一定是最值，需要极值和区间端点的函数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性．(3)如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．【做一做3】函数的最大值一定是函数的极大值吗？1．如何理解极值的概念？剖析：极大值与极小值统称为极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．(1)极

8、值是一个局部概念．由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或是最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小．(2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某个区间上或定义域内，极大值或极小值可以不止一个．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)＞f(x1)．(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点处．2．导数为零的点一定是极值点吗？剖析：可

9、导函数的极值点必须是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点，如f(x)＝x3在x＝0处的导数f′(0)＝0，但x＝0不是它的极值点，也就是可导函数在点x0处的导数f′(x0)＝0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件．特别地，函数的不可导点(如尖点)也可能是极值点．题型一求函数的极值【例1】求下列函数的极值：(1)y＝f(x)＝3x3－x＋1；(2)f(x)＝x2ex.分析：首先对函数求导，求得f′(x)．然后求方程f′(x)＝0的根，再检验方程根的左右两侧导数f′(x)的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果

10、左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．反思：按照求函数极值的一般步骤求解即可．解答此类问题时要注意f′(x)＝0只是函数f(x)在x0处有极值的必要条件，如果再加上x0左右两侧导数值异号，方能判断函数