自动控制理论 4复域：根轨迹法1.ppt

《自动控制理论 4复域：根轨迹法1.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四章根轨迹分析1二阶系统标准式:系统的两个特征根（闭环极点）为2特征根的[s]平面的分布情况见图特征根为：共扼复数相等实数不等实数共扼虚数系统稳定的充要条件:系统特征方程式的根（系统闭环极点）都位于S的左半平面，即每一个特征根不论是实根还是复数根都具有负实数。系统性能与闭环极点（即闭环特征方程的根）在s平面上的位置有密切关系。34.1.1根轨迹的定义例设一系统闭环传递函数特征方程特征方程的根：4.1根轨迹的定义与幅相条件4若K从零到无穷大变化时，特征方程根的变化情况如表K00.1250.250.5……∞s1……s2……所

2、谓根轨迹，就是以系统增益K为参变量（或以系统其它变量为参变量），当K由0→∞时，系统闭环极点在s平面上变化的轨迹。ReIm0-0.5-1××0-1-0.146-0.5-0.5+j0.5-0.854-0.50-0.5-j0.5-0.5+j∞-0.5-j∞×××××××××××5动态特性当00.25时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位阶跃响应为衰减振荡过程。稳定性当增益K由0→∞，根轨迹不会越过虚轴进入s平面右半

3、边，因此系统对所有的值都是稳定的；稳态特性开环传递函数在坐标原点有一个极点，所以属I型系统，根轨迹上的值就是Kv。如果已知ess，则在根轨迹图上可以确定闭环极点取值的容许范围。根据系统根轨迹图可以分析参数变化对系统性能的影响。6分析表明，根轨迹与系统性能之间有着较密切的联系。然而，对于高阶系统，用解析的方法绘制系统根轨迹图，显然是不适用的。我们希望能有简便的图解方法，迅速绘出闭环系统的根轨迹。绘制系统根轨迹的基本思想是：在已知闭环系统开环传递函数零、极点分布基础上，通过研究系统某一个或多个参数变化时，控制系统闭环极点变化情

4、况，用图解法画出闭环系统根轨迹图。为此，需要：研究开环零、极点与闭环系统的根轨迹之间的关系。7闭环传递函数：闭环特征方程：或由于是复数，可以用向量表示，将其分成两个方程。幅角条件：幅值条件：4.1.2根轨迹的幅相条件8设相角条件：幅值条件：9凡满足幅值和相角条件的s值，都是闭环系统的极点，即特征方程的根。这些s值构成系统的根轨迹。关键在于找出这些s点。工程上定义：（1）当0≤K<+∞时的根轨迹称之为主要根轨迹，简称根轨迹。（2）当—∞

5、迹，简称全根轨迹。5.1.3绘制根轨迹的步骤：（1）寻找满足相角条件所有的s点，由这些点构成根轨迹；（2）根据幅值条件确定对应点(即特征方程根)处的K值。10P118例已知一单位反馈控制系统的开环传递函数为试证明该系统根轨迹的复数部分为一圆。证明：根据相角条件令：11即：等式两端取正切：124.2绘制根轨迹图的基本规则开环传递函数的两种表示形式时间常数形式：K为系统的开环增益。零、极点形式：K0为系统的根轨迹增益。13以根轨迹增益K0为参变量绘制根轨迹的一些基本规则。1.根轨迹的起点和终点起点（）：起始于开环传递函数的极点

6、（n个）；终点（）：终止于开环传递函数的零点。包括m个有限远的零点（简称有限零点）和(n-m)个无限远的零点(简称无限零点)。当变化时，整个根轨迹的趋向由起点移向终点，即由开环的极点移向开环的零点。14起点：因为当时，说明根轨迹起始于开环传递函数的极点，n阶系统共有n个开环极点，每个开环极点都对应根轨迹的一个起点，所以共有n个起点。-15终点：（1）有m条根轨迹终止于系统开环传递函数的m个有限零点。当时，我们把这m个零点称之为系统的有限零点。（2）有（n-m）条根轨迹终止于开环传递函数的（n-m）个无限零点。当时，当n>m

7、时，条件也成立上式表明：有n-m条根轨迹的终点在无穷远处。我们把无穷远处的零点称之为无限零点。16综上所述：系统共有n个开环零点，其中m个为有限零点，（n-m）个为无限零点。每个开环零点都对应根轨迹的一个终点，所以共有n个终点。2、根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于开环的极点数。我们把一条完整的根轨迹称之为根轨迹的一个分支，由前面的分析可知，n阶系统有n个根轨迹的起点和终点。所有的根轨迹都是有头有尾、有始有终。所以其分支数必等于开环的极点数或系统的阶数。173、根轨迹的对称性根轨迹对称于实轴。特征方程的根或为实数，或为复数。

8、必对称于实轴。4、根轨迹的渐近线（s=∞处的根轨迹特征）渐近线共有(n-m)条，且相交于实轴上的同一点。渐近线于实轴的夹角：(k=0,1,2……)渐近线与实轴的交点：18（1）根轨迹渐近线的倾角根据幅角条件：当时，零点、极点与矢量复角可近似看成相等得到所以渐近线的倾角：因共有(n-m)条渐近线，所以只要