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1、J.Z.Xiao,CEIE,HBU1第四章根轨迹法反馈控制系统的运动特征取决于其闭环传递函数：极点、比例系数、零极点分布等。1948年，伊凡思（W.R.Evans）根据反馈控制系统的开环传递函数与其闭环特征方程间的内在关系，确定闭环特征方程特征根的一种图解方法——根轨迹法。将开环系统中的参数与闭环极点间的关系通过直观的方法确定出来，便于对系统稳定和综合性能的分析。助是非常便利的！J.Z.Xiao,CEIE,HBU电流温度电流/电压扭矩/转速阀门开度缸位移被控对象都是简单的输入和输出间的开环关系，而最终是要闭环的。如果能根据开环系统判断闭环系统的极点、零极点分布、开环增益等，那
2、么对系统控制的帮W.R.Evans2采用根轨迹解决！K00.10.250.51……∞S10-0.113-0.5-0.5+j0.5-0.5+j0.87……-0.5+j∞S2-1-0.887-0.5-0.5-j0.5-0.5-j0.87……-0.5-j∞=2s1=−+,s2=−−J.Z.Xiao,CEIE,HBU3一、根轨迹的基本概念Ks+s+KKs(s+1)+KΦ(s)=12121−4K21−4K2闭环特征方程为s2+s+K=0,解得闭环特征根表达式1.根轨迹概念Ks(s+1)R(s)-C(s)-1σjωK=0K=0.5K=0.5K=0.25K=0-0.5-0.50.50图4-
3、2系统的根轨迹J.Z.Xiao,CEIE,HBU4根轨迹是指开环系统某个参数由0变化到∞，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。（1）系统为结构稳定系统。无论K为何值，其特征根始终位于复平面的左半平面。（2）当00.25时，两个特征根为位于左半面的一对共轭复根，系统处于欠阻尼状态。当K=0.25时，两个特征根为位于左半面的两个相等的实根，系统处于临界阻尼状态。（3）从根轨迹的分布，对于给定的K值，可以估计系统的主要动态性能。如K=0.5时，闭环特征根为-0.5±j0.5。ξ=0.707ωn=0.
4、707，2ξπ1−ζ−σ％＝eJ.Z.Xiao,CEIE,HBU52.根轨迹方程G(s)1+G(s)H(s)系统的闭环传递函数:Φ(s)=C（s）R（s）－G(s)H(s)闭环特征方程即根轨迹方程为G(s)H(s)=–1G(s)H(s)earg[G(s)H(s)]=1⋅ej(2k+1)πG(s)H(s)=1arg[G(s)H(s)]=(2k+1)πk=0,±1,±2L模条件角条件∏(−z)∏(τs+1)∏(Ts+1)∏(s−z)∏(s−p∏(−p∑∠(s−z⎜⎜∏=j1
5、s−zj
6、⎟⎟=1,⎜K=m⎜
7、s−pi
8、⎟∏=i1∏=i1
9、s−pi
10、⎛⎞∏(s−zK∏(s−p)K∏
11、
12、s−zj
13、)−∑∠(s−pi)=(2k+1)πJ.Z.Xiao,CEIE,HBU6、极iij=Kmi=1nj=1*mi=1nj=1j)G(s)H(s)=KiK=Kmi=1nj=1*j)将根轨迹方程写成零迹增益点表示的矢量方程为：开环增益)im*j=1ni=1j=−1=ej(2k+1)π(k=0,±1,±2,L)n⎜*⎟⎟⎝⎠mj=1*nni=1mj=1j模值方程和相角方程分别为：J.Z.Xiao,CEIE,HBU7在绘制根轨迹时，只需要使用相角条件即可（因为根轨迹是K*从0到∞，根位置的变化过程，只要满足角条件，s必在根轨迹上，而对应的什么K*值并不重要）。当需要确定根轨迹上
14、各点的K*值时，才使用幅值条件。J.Z.Xiao,CEIE,HBU8例：系统的开环传递函数为K*(s−z1)s(s−p2)(s−p3)G(s)H(s)=σjωS1P2α2L3α3L4α1P1L2L1β1P3幅值条件和相角条件图示arg(s1−z1)−[args1+arg(s1−p2)+arg(s1−p3)]=(2k+1)πβ1−(α1+α2+α3)=(2k+1)πz1此点处的开环根轨迹增益L2L3L4L1=s1s1−p2s1−p3s−z1K*=用角条件判断s1是否属于根轨迹J.Z.Xiao,CEIE,HBU9例利用相角条件绘制图4-1所示系统的根轨迹。系统的开环传递函数仍为K
15、s(s+1)G(s)H(s)=•确定实轴上的根轨迹正实轴实轴上原点与-1点之间-1点左边••(−0.5+j0)KK=−0.5⋅−0.5+1=0.25(−0.5±j0.5)KK=−0.5±j0.5⋅−0.5±j0.5+1=0.5根轨迹上点所对应的所对应的值根轨迹上点在实轴外任取一点s1位于（-1，0）的垂直平分线用模条件确定系数K的值J.Z.Xiao,CEIE,HBU10只需做出上半s：根轨迹在[s]面上的分支数等于系即可以画出下半sn,也就是分支数与二、根轨迹绘制的基本规则法则1:根轨迹对称于实轴：闭环
