自动控制原理根轨迹ppt课件.ppt

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1、第四章线性系统的根轨迹法4-1根轨迹法的基本概念4-2根轨迹绘制的基本法则4-3广义根轨迹4-4系统性能的分析第四章线性系统的根轨迹法§1根轨迹法的基本概念C(s)R(s)-20j-20jG(s)C(s)R(s)H(s)第二节绘制根轨迹的基本法则2、根轨迹的对称性：一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共轭复根。即位于复平面的实轴上或对称于实轴。用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通过研究根轨迹和开环零极点的关系，根轨迹的特殊点，渐近线和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨迹的大致形状和变化趋势。以下的讨论是针对参数的180度根轨迹的性质

2、。1、根轨迹的连续性：闭环系统特征方程的某些系数是增益的函数。当从0到无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。4、根轨迹的起点和终点：根轨迹方程为：时为起点，时为终点。3、根轨迹的支数：n阶特征方程有n个根。当从0到无穷大变化时，n个根在复平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶数。当时，只有时，上式才能成立。而是开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统有n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。我们称系统有n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点的个数等于极点数。那么，n-m支根轨迹是如何趋于无限远呢？

3、当时，①，上式成立。是开环传递函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m个有限零点处。②若n>m，那么剩余的n-m个终点在哪里呢？在无穷远处。由根轨迹方程知：当时5.根轨迹的渐近线：若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹趋向无穷远的方位可由渐近线决定。由根轨迹方程可得：式中，当Kg→∞，由于m

4、s(nq)+jsin(nq)，上式可写为这是与实轴交点为s，斜率为的直线方程。也就是渐近线方程。渐近线与实轴的夹角(称为渐近线的倾斜角)为5.根轨迹的渐近线：渐近线包括两个内容：渐近线的倾角和渐近线与实轴的交点。倾角：设根轨迹在无限远处有一点，则s平面上所有的开环有限零点和极点到的相角都相等，即为渐近线的倾角。代入根轨迹的相角条件得：规定：相角逆时针为正，顺时针为负。渐近线与实轴的交点假设根轨迹在无限远处有一点，则s平面上所有开环有限零点和极点到的矢量长度都相等。可以认为：对无限远闭环极点而言，所有的开环有限零点、极点都汇集在一起，其位置为，这就是渐近线与实轴的交点。幅值条件

5、[例4-2]系统开环传递函数为，试确定根轨迹支数，起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴的交点和倾角。[解]：根轨迹有3支。起点为开环极点无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的倾角：零极点分布和渐近线（红线）如图所示。6、实轴上的根轨迹：实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开环系统的零点数和极点数的总和为奇数。[证明]：例如在实轴上有两个开环极点p1、p2，复平面上有一对共轭极点p3、p4和一对共轭零点z1、z2。先看试验点s1点：所以s1点满足根轨迹相角条件，于是[－p2,－p1]为实轴上的根轨迹。②成对出现的共轭零点z1、z2对实轴

6、上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0°；③试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的相角为0°；④试探点右边的极点p1对试探点构成的向量的相角为180°；再看s2点：不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的点。①成对出现的共轭极点p3、p4对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0°；同样s3点也不是根轨迹上的点。[例4-3]设系统的开环传递函数为：试求实轴上的根轨迹。[解]：零极点分布如下：红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1]。注意在原点有两个极点，双重极点用“”表示。7、根轨迹的会合点和分离点：若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为

7、分离点或会合点。如图所示某系统的根轨迹，由开环极点出发的两支根轨迹，随着的增大在实轴上A点相遇再分离进入复平面。随着的继续增大，又在实轴上B点相遇并分别沿实轴的左右两方运动。当时，一支根轨迹终止于另一支走向。A、B点称为根轨迹在实轴上的分离点和会合点。一般说来，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离点；如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们之间可能既无分离点也无会合点，也可能既有分