根轨迹法(自动控制原理).ppt

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1、第四章 根轨迹法4.1根轨迹的基本概念4.2绘制典型根轨迹4.3特殊根轨迹图4.4用MATLAB绘制根轨迹图4.5控制系统的根轨迹分析根轨迹法是一种图解法，它是根据系统的开环零极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进行定性分析和定量计算。根轨迹的基本条件，常规根轨迹绘制的基本规则，广义根轨迹的绘制，用根轨迹图确定闭环极点及系统性能指标。介绍了如何利用MATLAB绘制系统的根轨迹。内容提要线性时不变系统的动态性能主要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点），所以

2、控制系统的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调整开环增益是改变闭环极点的常用办法。1948年伊凡思(W.R.Evans)提出了根轨迹法，它不直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的闭环特征根。所谓根轨迹，就是系统的某个参数连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹。如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根据已知的开环增益找到相应的闭环特征根；也可以根据期望的闭环特征根确定开环增益。绘制根轨迹曾经是枯燥繁琐的工作，MATLAB的出现使这项工作变得轻松愉快，如今在计算机上一分钟就能绘制一张精确的根轨

3、迹图。本章注意继承传统根轨迹法中的精华，也注意吸纳根轨迹法的最新进展。具体选材上，侧重根轨迹的相角条件和基本规则，主推MATLAB绘制根轨迹，突出如何有效地运用根轨迹法。1.什么是根轨迹考虑图示负反馈控制系统，设其开环传递函数为：则该系统的闭环特征方程为：4.1根轨迹的基本概念当K从零到无穷大连续变化时，闭环极点在S平面(复平面)上画出的根轨迹如图所示。当开环增益K从零到无穷大连续变化时，闭环极点在S平面(复平面)上移动画出的轨迹图即根轨迹图。从上述根轨迹图中可以看到：当0

4、点都是负实数；当K>0.385时有两个闭环极点成为共轭复数。只要0

5、在s平面上，既满足幅值条件又满足相角条件的点就是根轨迹上的一个点，它对应的s值就是特征方程的一个根，也就是一个闭环极点。用根轨迹法分析控制系统时，主要是研究系统的一个可调参数的变动对系统闭环极点的影响，而最常见的可调参数就是开环增益K。如果令G(s)=KG0(s)，显然K的变动只影响幅值条件，不影响相角条件。也就是说，根轨迹上的所有点都满足相同的相角条件且不受K值变动的影响，但其幅值与K值有关。所以，绘制根轨迹可以这样进行：首先在s平面上找出所有符合相角条件的点，这些点连成的曲线就是根轨迹。然后反过来

6、，再按幅值条件即可以求出根轨迹上任意一点所对应的K值。现有的绘制根轨迹图的方法分为三类：1)画概略图。这种方法适合调试现场的应急分析、项目开始的粗略分析等不要求很精确的场合。熟悉了根轨迹的基本规则后，很快就可以画出概略图。2)图解加计算画准确图。此方法不仅繁琐，精度也差，在实际应用中已逐步淘汰。3)计算机绘制精确图，目前主要指用Matlab工具绘制根轨迹图。它准确快捷，短时间内可以对多个可调参数进行研究，能够有效地指导设计与调试。4.2绘制典型根轨迹以开环增益K为参变量的根轨迹，它是最基本、最常用的根

7、轨迹，为了便于区别将其称之为‘典型根轨迹’。仍分析前面图示的负反馈系统，设其开环传递函数为：p1，p2，…pn为开环极点；z1，z2，…zm为开环零点。这样，系统的闭环特征方程就可以表示为：1.开环零极点与相角条件以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程，相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。也可以写成对应的幅值条件为：相角条件为：上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不是则该点不在根轨迹

8、上，最后将在根轨迹上的试验点连接就得到根轨迹图。以下列4阶系统为例说明，该系统开环传递函数为：先在复平面上标出开环极点p1，p2，p3，p4和开环零点z1。再取一试验点s，如果它在根轨迹上就应满足相角条件：量出或计算出各个角度，就可判断点s是否在根轨迹上。判别了一个试验点，接着再判别其它试验点…。用试验点的办法作图工作量十分巨大，而且对全貌的把握也很困难。要又快又准的绘制根轨迹图，可利用它的一些基本规则。概括起来，以开环增益K为参变量的根轨迹图主要有下列