自动控制原理 第4章 根轨迹法.ppt

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1、第4章根轨迹法主要内容:4.1根轨迹法的基本概念4.2根轨迹方程4.3用根轨迹分析控制系统4.4用MATLAB绘制根轨迹4.1根轨迹法的概念根轨迹是开环系统某一参数由零变化到无穷时，闭环系统特征方程式的根（闭环极点）在平面上变化的轨迹,它是一种由开环传函求闭环特征根的图解方法。利用根轨迹法可以研究系统某个参数的变化对控制系统闭环传函数极点分布的影响。例:系统为单位反馈控制系统:其开环传递函数为:将其写成零极点形式：闭环传递函数为:系统的特征方程为:两个特征根（或闭环极点）是:若令开环增益（等价的）从零变到无穷大，可以解出相应的闭环特征根的全部值：当kk=0时s1=0,s2=-2,此时闭

2、环极点与开环极点合当01时s1,s2位于过点且平行于虚轴的直线上当kk→∞时s1,s2将趋于无穷远处将这些闭环特征根的数值标注在平面上，连成光滑粗实线，就是系统的根轨迹，如下图所示：根据根轨迹图可知，对任意（大于零），控制系统的闭环极点都位于左半平面，系统是稳定的。当01时两个闭环极点为（负实部）共轭复极点，系统为欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应是振荡的，有超调可以根据根轨迹决定反馈控制系统的型

3、别，根据系统的型别和开环增益就可以决定系统的稳态性能。根轨迹与系统性能之间有着密切的联系.所谓根轨迹法根据系统的结构、参数(即系统的开环传递函数)给出系统的根轨迹图，并利用系统根轨迹对系统进行分析和设计。由此可见，根轨迹法的关键是先要给出系统的根轨迹图。4.2根轨迹方程根轨迹是系统所有闭环极点的集合。设系统的闭环传递函数为:令闭环传递函数表达式的分母为零，得:或上式为根轨迹方程，其实质就是系统的闭环特征方程。由于是复数，必然也是复数，所以上式可改写为:，将上式分成两个方程，可以得到上式分别称为根轨迹的幅值条件和相角条件。若将系统开环传递函数写成零、极点的形式式中zj表示开环零点，pi表

4、示开环极点，kg>0为开环根轨迹增益，它与开环增益kk之间仅相差一个比例常数。于是根轨迹方程可描述为相应的幅值条件和相角条件可描述为根轨迹上的点应同时满足的两个条件：幅值条件和相角条件由于幅值条件与有关，而相角条件与无关，所以满足相角条件的任一点，代入幅值条件总可以求出一个相应的值，也就是说满足相角条件的点，必同时满足幅值条件。所以相角条件是确定平面上根轨迹的充要条件。注意：绘制根轨迹时，只需要使用相角条件，只有当需要确定根轨迹上各点的对应的值时，才使用幅值条件。常规根轨迹及其绘制绘制根轨迹时，需将开环传递函数化为用零、极点表示的标准形式以根轨迹增益或开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为

5、常规根轨迹。法则1根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。对于实际的物理系统，开环零点数m一般小于或等于开环极点数n。法则2根轨迹的分支数与开环有限零点数和有限极点数中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴。法则3当开环有限极点数大于开环有限零点数时，有条根轨迹分支沿着与实轴交角为、交点为的一组渐近线趋向无穷远处，且有法则4实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。法则5两条或两条以上根轨迹分支在平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点（或会合点），分离点坐标由下式决定：由于根轨迹对称于实轴，所以分离点或位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面中。

6、法则6始于开环复数极点处的根轨迹的出射角和止于开环复数零点处的根轨迹的入射角可分别按下式计算:法则7若根轨迹与虚轴相交，则交点处的Kg值和值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的，然后分别令其实部和虚部为零而求得。注意:正反馈系统根轨迹的幅值条件与常规根轨迹完全相同，仅相角条件有所改变。因此，前面介绍的常规根轨迹绘制法则原则上可以应用于零度根轨迹的绘制，但涉及到相角条件的一些法则，应作如下调整：法则3渐近线与与实轴的交角应改为法则4根轨迹在实轴上的分布应改为：实轴上的某一　区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。法则5始于开环复数极点处的根轨迹的出射角和止于

7、开环复数零点处的根轨迹的入射角可分别按下式计算除以上三个法则外，其他法则不变。4.3用根轨迹分析控制系统得到了系统的根轨迹，就可以用它来分析控制系统的性能，即通过系统根轨迹的形状、走向和一些关键点（如与虚轴的交点，与实轴的交点等）等，对控制系统的稳定性、稳态特性和动态特性进行分析。根轨迹法的基本任务就是根据已知开环零、极点的分布及开环根轨迹增益，通过图解的方法找出系统的闭环极点。增加零、极点对根轨迹的影响:在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹