自动控制原理 林青云 第4章根轨迹法

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1、第4章根轨迹法本章的主要内容4.1根轨迹与根轨迹方程4.2绘制根轨迹的基本规则4.3系统闭环零极点分布与阶跃响应的关系4.4开环零极点对根轨迹的影响4.1根轨迹与根轨迹方程4.1.1根轨迹4.1.2根轨迹方程什么是时域分析?指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。4.1.1根轨迹[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。例：如图所示二阶系统，-特征方程为：闭环传递函数：系统开环传递函数为：特征根为：[讨论]：①不论开环增K为何值，根轨迹均在S

2、平面左半部，所以系统是稳的。②当K<0.5时，闭环特征根具有两不相等的负实数根，阶跃响应为非周期状态，相当于过阻尼状态。③当K=0.5时，闭环特征根具有两相等的负实根，系统处临界阻尼状态④当K>0.5时，闭环特征根具有负实部的共轭复根，阶跃响应为衰减振荡过程，相当于欠阻尼状态。⑤因为开环传递函数有一个位坐标圆点的极点，系统为I型系统，在阶跃信号作用下稳态误差为零，在斜坡信号作用下稳态误差为常数。由上述分析过程可知，用直接求闭环特根的方绘制根轨迹，对二阶系统是基本可行的，然而对高阶系统将是很困难和不现实的。根轨迹的根本思路是根据反馈系统开环，闭环传递函

3、数确定关系，通过开环传递函数寻求闭环根轨迹的分析方法。4.1.2根轨迹方程系统的结构图如下：-闭环传递函数为：闭环特征方程为：写成以下标准型，得：分母时间常数。系统的开环放大倍数；式中：iTK---分子时间常数。也可写成：称为根轨迹增益上式称为根轨迹开环传递函数的标准形式。所以，绘制根轨迹图时，首先要把开环传递函数改写成这种标准形式。可写出幅值方程与相角方程，即及相角方程还可写成幅值方程式中K=0，1，2，……4.2绘制根轨迹的基本规则规则1：根轨迹的分支数根轨迹在S平面的分支数等于闭环特征方程的阶数n，即分支数与闭环极点的数目相同。规则2：根轨迹的

4、分支数根轨迹对称于实轴如果闭环极点为实数时，必然在实轴上，若为复数，一定为共轭成对出现，所以根轨迹必然对称于实轴。规则3：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如果开环零点m小于开环极点n，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。根轨迹方程为根轨迹的起点，即当开环增益K=0时的闭环极点，当K=0，上式右边无穷大，对应上式的左边，只有当S→Pi时为无穷大，所以K=0时，根轨迹分别从开环极点开始，即起始于开环极点。根轨迹的终点，即当开环增益K=∞时，上式右边为零，对应上式的左边，只有当S→Zi时为零，所以根轨迹的终点对应于开环零点，或者说根轨迹终止于开环零点

5、。当n>m时只有m条根轨迹终止于开环零点，由n>m，当S→∞上式可写成规则4：实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹区段右侧，开环零极点数目之和为奇数。所以，当K→∞时，有条根轨迹终止于无穷远。jz2z1p3p1p2sdp4p5若某系统开环零，极点分布如图.现要判断一下P2和Z2之间是否存在根轨迹。可取此线段上的任一点Sd为实验点，在Sd右边实轴上的每个开环零极点引向Sd点的矢量为180°，在Sd点左边实轴上的每个开环零极点引向Sd点的矢量相角为0°，而不在实轴上的一对共轭的开环零极点引向Sd的矢量相角大小相等，方向相反，其和为零，因此，满足根轨迹方程相角条件

6、因此，实轴上根轨迹与复数开环零极点无关（因此它们在相角条件中互相抵消），与实验点左边的开环零极点无关（因为它们提供的相角均为0°），要满相角条件，只有实验点右边的开环零极点数目之和为奇数。例4-1已知单位反馈系统的开环传递函数式中τ>T，试大致画出其根轨迹。jz1p1=0p2解：首先将G(s)化成标准式由标准式可知：开环传函数有两个极点有一个零点即n=2，m=1。故有两条根轨迹。当K=0时，两条根轨迹从开环极点开始，当K→∞时，其中一条根轨迹终止于开环零点Z1，另一条趋向于无穷远处。实轴上，（P1，Z1），（P2，-∞）为根轨迹区段，根轨迹如图所示规

7、则5：根轨迹的渐近线当系统的开环增益K→∞时，趋向无穷远的根轨迹有条，这条根轨迹的方位可由渐近线决定。与实轴正方向夹角与实轴交点式中，K=0，1，2……一直到获得个倾角为止。例4-2单位负反馈系统的开环传递函数为求根轨迹的渐近线。解：有三个开环极点，，开环没有零点，n=3，m=0，故有三条根轨迹趋向于无穷远，其渐近线与实轴交点为当K=0，当K=1，渐近线如图规则6：根轨迹出射角和入射角根轨迹的出射角，是指起于开环极点根轨迹的方向角，即根轨迹出发点切线与水平线的夹角。根轨迹的入射角，是指终止于开环零点根轨迹的方向角，即根轨迹终止点切线与水平线的夹角。例

8、4-3设单位反馈系统的开环传递函数试绘制系统根轨迹。解：开环极点：开环零点:（1）实轴（0~1.5）和（）有