自动控制原理课件 第4章 根轨迹分析法

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1、第4章根轨迹分析法闭环系统的稳定性及性能主要由闭环极点（特征方程根）决定的。一个较完善的闭环控制系统其特征方程一般为高阶，直接用时域法求解困难。4.1根轨迹的基本概念4.2绘制根轨迹的基本规则4.3控制系统根轨迹的绘制4.4控制系统的根轨迹分析1948年伊万斯提出求解闭环特征方程的根的图解方法——根轨迹法。考虑到开环零极点更易获取，在开环零、极点分布已知的情况下，可绘制闭环极点随系统参数变化（如放大系数）而在s平面上移动的轨迹（根轨迹）。用途：①对系统的性能进行分析；②确定系统应有的结构、参数；③进行设计和综合。4．1根轨迹的基本概念一、根轨迹图1.定义：根平面：在一个复平面（s平面）上标出

2、开环零、极点，并根据此描述闭环极点的性质，这个复平面就称为根平面。根轨迹：指系统开环传递函数中某一参数（一般为Kg，根轨迹增益）变化时，闭环特征根在根平面上所走过的轨迹。2.用解析法绘制根轨迹（实例）例4-1：系统开环传递函数为：1.时间常数表示法主要用于频率分析中；2.零极点表示法主要用于根轨迹分析中。开环有两个极点：p1=0，p2=－2开环没有零点。可见，当Kg变化，两个闭环极点也随之连续变化。当Kg从0→∞变化时，直接描点作出两个闭环极点的变化轨迹闭环特征方程为：D(s)=s2+2s+Kg=0解得闭环特征根（亦即闭环极点）（1）当Kg=0时，s1=0、s2=－2，此时闭环极点就是开环极

3、点。（2）当0＜Kg＜1时，s1、s2均为负实数，且位于负实轴的（－2，0）一段上。（3）当Kg=1时，s1=s2=－1，两个负实数闭环极点重合在一起。（4）当1＜Kg＜∞时，s1，2=－1±，两个闭环极点变为一对共轭复数极点。s1、s2的实部不随Kg变化，其位于过（－1，0）点且平行于虚袖的直线上。（5）当Kg＝∞时，s1=－1+j∞、s2=－1－j∞，此时s1、s2将趋于无限远处。可根据根轨迹形状评价系统的动态性能和稳态性能：（1）根轨迹增益Kg从0→∞时，根轨迹均在s平面左半部，在所有的Kg值下系统都是稳定的。（2）当0

4、期过程。（3）当Kg=1时，闭环特征根为相同负实根，系统处于临界阻尼状态，其阶跃响应为非周期过程。（4）当Kg>1时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态,其阶跃响应为衰减的振荡过程。（5）有一个为0的开环极点，系统为Ⅰ型系统，其阶跃作用下的稳态误差ess为零。由上述分析过程可知，系统的根轨迹分析的意义在于：由较易获取的开环零极点分布分析闭环极点的性质，从而，对系统的动态性能和稳态性能进行分析。但是，试探法不是绘制根轨迹的最合适方法，而且也太费时间。对于高阶系统，用这种解析的方法绘制出系统的根轨迹图是很麻烦的。实际上，闭环系统的特征根的轨迹都是根据开环传递函数与闭环特征根的关系，以及已知的

5、开环极点和零点在根平面上的分布，按照一定的规则用图解的方法绘制出来的。二、根轨迹方程绘制根轨迹的实质，在于由开环零极点在s平面寻找闭环特征根的位置。闭环传递函数为闭环特征方程为即m个开环零点n个开环极点（根轨迹方程）Kg：根轨迹增益∴在s平面上凡是满足上式的任意一个点s1、s2、…、s∞，都是闭环特征根，即闭环极点。对应于Kg从0→∞。1、根轨迹的幅值条件方程和相角条件方程为复数，故根轨迹方程是一个向量方程。相角条件：幅值条件：相角条件方程和kg无关，s平面上任意一点，只要满足相角条件方程，则必定同时满足幅值条件，该点必定在根轨迹上，即对应不同的kg时的闭环极点，相角条件是决定闭环系统根轨迹

6、的充分必要条件。（实、虚轴选用相同的比例尺刻度）2、幅值条件和相角条件应用为从一个开环零点指向s的向量为从一个开环极点点指向s的向量向量的模为长度，即s平面上两点之间的距离；相角为此向量指向方向与实轴之间的夹角，逆时针为正，顺时针为负；1.可以直接计算；2.或在图上直接测量S为试探点解：不符合相角条件，s1不在根轨迹上。满足相角条件，s2在根轨迹上。（1）.用相角条件求根轨迹（试探法）例：已知系统的开环传递函数如下，试判断是否在根轨迹上。（2）.用幅值条件确定kg的值解：例：求上例中根轨迹上点对应的Kg。、也可以用直尺测量向量的长度。小结：相角条件判断是否闭环极点（根）幅值条件确定对应的

7、根轨迹增益图解法：注意坐标、比例但是控制系统的根轨迹图不能遍历s平面上所有的点来绘制。因为在满足根轨迹条件方程的基础上，根轨迹的图是有一些规律的。依据绘制轨迹图的一些基本法则，就可以绘制出控制系统的根轨迹草图。4．2绘制根轨迹的基本规则由开环零、极点→当Kg为可变参数时，闭环极点的变化轨迹。是Kg或其它参数的连续函数。当Kg从0→+∞连续变化时，闭环极点连续变化，即根轨迹是连续变化的曲线或直线。∵线性系统特征