自动控制原理 李明富 第4章 根轨迹分析法

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1、第4章根轨迹分析法4.1根轨迹与根轨迹方程4.1.1根轨迹的基本概念系统某个参数（如开环增益K*）由0增加到∞时，闭环特征根在s平面移动的轨迹称为该系统的闭环根轨迹。【例4-1】单位反馈控制系统如图4-1，绘制K*变化时，系统极点的变化情况。解：特征方程为D(s) = s2 + 2s + 2K* = 0特征根为当K* = 0时，s1 = 0，s2 = − 2。当K* = 0.5时，s1 =s2 = −1。当K* = 1时，s1,2 = −1j1。当K*→∞时，s1,2 = −1 j∞。K*→∞变化时，闭环特征根在s平面移动的轨迹如图4-2所示，这就是

2、该系统的根轨迹图4-1反馈控制系统方框图图4-2例4-1的根轨迹4.1.2根轨迹方程图4-3闭环系统结构图既然根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，则描述其变化关系的闭环特征方程就是根轨迹方程。一般闭环系统结构图如图4-3所示。系统的开环传递函数为Gk=G(s)H(s)，闭环传递函数为（4-1）图4-3闭环系统结构图闭环特征方程为1 +G(s)H(s) = 0即Gk = −1（4-2）满足方程式（4-2）的s值，都必须是根轨迹上的点，故称式（4-2）为根轨迹方程。根轨迹方程也即为闭环特征方程。4.2绘制根轨迹的基本条件绘制根轨迹实质上是寻求闭环特征方程1+

3、G(s)H(s)=0的根，即寻求满足根轨迹方程式（4-2）的s值。因此，由式（4-1）两边幅值和相角分别相等的条件，可得（4-3）及(k=0,1,2…)（4-4）式（4-3）、式（4-4）分别称为根轨迹的幅值条件和相角条件，设系统开环传递函数为（4-5）式中，K*——根轨迹增益；zi——开环零点；pj——开环极点。则根轨迹方程（系统闭环特征方程）为1 +G(s)H(s) = 0即（4-6）显然，满足上式的s即是系统的闭环特征根。当K*从0变化到∞时，n个特征根将随之变化出n条轨迹。这n条轨迹就是系统的闭环根轨迹（简称根轨迹）。由式（4-4）确定的根轨

4、迹方程可以分解成相角条件和幅值条件，即=(2k+ 1)(k=0,1,2…)（4-7）（4-8）对根轨迹说明如下。（1）开环零点zi、开环极点pj是决定闭环根轨迹的条件。（2）注意到式（4-7）定义的相角方程不含有K*，这表明满足式（4-8）的任意K*值均满足由相角方程定义的根轨迹，因此，相角方程是决定闭环根轨迹的充分必要条件。（3）满足相角方程的闭环极点s值，代入幅值方程式（4-8），就可以求出对应的K*值。（4）任意特征方程D(s)=0均可处理成1+G(s)H(s)=0的形式，其中把G(s)H(s)写成式（4-5）描述的形式就可以得到K*值，所以

5、说K*可以是系统任意参数。【例4-2】设某单位反馈系统的开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹。解：原开环传递函数为开环有两个极点，即P1=0、P2=−0.5，开环没有零点。图4-4例4-2的根轨迹4.3绘制根轨迹的规则和方法绘制控制系统根轨迹的一般规则和方法如下。①根据给定控制系统的特征方程，按照基本规则求系统的等效开环传递函数Gk(s)，并将其写成零、极点的规范形式[如式（4-5）所示]，以此作为绘制根轨迹的依据。②找出s平面上所有满足相角条件式（4-7）的点，将它们连接起来即为系统的根轨迹。③根据需要，可用幅值条件式（4-8）确定根轨迹上某些点的开环根

6、轨迹增益值。绘图规则是各种绘制根轨迹方法的重要依据，下面就将其主要内容介绍如下。规则1根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数m小于开环极点个数，则有n—m条根轨迹终止于无穷远处。规则2根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数m、开环极点数n中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。规则3实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。规则4根轨迹的渐近线：当系统开环极点个数n大于开环零点个数m时，有n−m条根轨迹分支沿着与实轴夹角为a、交点为a的一组渐近

7、线趋向于无穷远处，且有(k=0,1,2,…,n−m−1)（4-10）证明：渐近线就是s→∞时的根轨迹，因此渐近线也一定对称于实轴。根轨迹方程式（4-8）可写成==（4-11）式中，，分别为系统开环零点之和及开环极点之和。当K*→∞时，由于n＞m，应有s→∞。式（4-11）可近似表示为即有或将上式左端用牛顿二项式定理展开，并取线性项近似，有令有以(k=0,1,2…)代入上式，有这就是当s→∞时根轨迹的渐近线方程。它表明渐近线与实轴的交点坐标为渐近线与实轴夹角为(k=0,1,2…)【例4-3】单位反馈系统开环传递函数为图4-6开环零、极点及渐近线

8、试根据已知的基本规则，绘制根轨迹的渐近线。解：将开环零、极点标在s平面上，如图4