自动控制原理 李明富 第8章 状态空间分析法

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1、第8章状态空间分析法8.1状态空间法的基本概念8.1.1状态与状态变量“状态”和“状态空间”并不是新概念，长期以来，二者就在质点和刚体的古典力学中得到广泛应用。在经典控制理论中，“相平面”概念（在本书中未涉及）就是特殊的二维状态空间，但是，将“状态”和“状态空间”的概念在古典动力学基础上加以发展，并使之适合于控制过程的描述，这还是在20世纪60年代前后的事。下面通过举例说明状态、状态变量。【例8-1】无源网络如图8-1所示，试分析网络的数学模型。图8-1RLC无源网络解：由图8-1可得方程消去中间变量可得（

2、8-2）用传递函数表示为（8-3）式（8-1）、式（8-3）均是描述该网络的数学模型，均可表示系统的状态。分析式（8-1）的两个一阶方程组（8-4）用向量矩阵方程表示为u（8-5）在该网络中，如果i(t0)、uC(t0)的初始值和t≥t0时输入电压均已知，则t≥t0时网络状态、uC(t)可完全确定，因此，可以说i(t)、uC(t)是这个二阶系统的一组状态变量，由此可得到如下概念。状态：即动力学系统状态，是指完整地和确定地描述系统的时域行为的一组最小变量。如果给定t=t0时刻这组变量的值和t≥t0时输入的时间

3、函数，那么系统在t≥t0任何瞬时的行为就完全确定下来了，这样一组变量称为状态变量8.1.2状态向量与状态空间（1）状态向量。状态向量是以状态变量为元组成的向量。如x1(t)，x2(t)、x3(t)，…，xn(t)是系统的一组状态变量，则状态向量就是以这组状态变量为分量的向量，即（2）状态空间。以x1(t)，x2(t)，x3(t)，…，xn(t)为坐标轴所组成的正交n维空间，称为状态空间，状态空间中的每一点，都代表状态变量的唯一和特定的一组值。由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。在例8-

4、1中式（8-4）描述的就是系统的状态方程。如果将状态变量用一般符号来表示，即式（8-4）中令x1=uC，x2=i，并写成矩阵形式，则状态方程为（8-6）或=AX+bu式中，，在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。【例8-1】中指定x1=uC作为输出，输出一般用y表示，则有y=uC，即y=x1，系统的输出方程为（8-7）或y=CTX式中，CT=[10]8.2状态空间描述8.2.1状态变量的选取对于状态变量的选择，原则上是任意选择的，但在有些系统的分析中，为了便于问题的分析

5、或为了更进一步地了解系统内部变量及其之间的相互关系，状态变量应根据系统的要求来选取。下面举例说明如何选取状态变量。【例8-2】如图8-2所示的质量—弹簧系统，当外力F(t)作用时，系统产生运动，质量及弹簧弹性系数见图，如不计算摩擦，试求：（1）以质量块m2的位移y(t)为输出量、外力F(t)为输入量，列写系统的微分方程；图8-2质量—弹簧系统（2）自选一定数目的状态变量，建立上述系统的状态方程和输出方程。解：（1）设质量块m1的位移为z，根据牛顿定律有F(t)−k1(z−y)=m1（8-8）同理，对质量块m

6、2有k1(z−y)−k2y=m2（8-9）联立式（8-8）、式（8-9）消去中间变量z，得出系统的微分方程为m1m2y(4)+[(k1+k2)m1+k1m2]+k1k2y=k1F(t)（8-10）式（8-10）即为所求的系统的微分方程。（2）设状态变量x1=z，x2==，x3=y，x4==由式（8-8）可得由式（8-9）可得由此，状态方程和输出方程分别为（8-11）（8-12）即为所求。8.2.2线性系统的状态空间描述状态方程和输出方程综合起来，构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式，如式（

7、8-6）和式（8-7）所示。而式（8-11）和式（8-12）就是图8-2所示系统的空间表达式。下面介绍列写状态空间描述的一般方法。设单输入—单输出系统，其状态变量为x1，x2，…，xn，则状态方程的一般形式为=a11x1+a12x2+…+a1n+b1u=a21x1+a22x2+…+a2n+b2u=an1x1+an2x2+…+ann+bnu输出方程则有如下形式y=c1x1+c2x2+…+cnxn用向量矩阵表示时的状态空间表达式为=Ax+buy=CTx（8-13）式中，——n维状态变量——系统内部状态的联系，称

8、为系统矩阵，为矩阵；——输入对状态的作用，称为输入矩阵或控制矩阵，在此为n×1的矩阵。8.3能控性和能观测性能控性和能观测性是系统的一种特性，这两个概念是卡耳曼在20世纪60年代提出的，是现代控制理论的两个基本概念。能控性检查每一状态分量能否被u(t)控制，是指控制作用对系统的影响能力；能观测性表示由观测量y能否判断状态X，它反映系统输出量确定系统状态的可能性。因此，能控性和能观测性从状态的控制能力和状态的识别能