自动控制原理 李明富及答案 第四章根轨迹法 4.4

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1、第四节控制系统根轨迹的绘制7/30/20211前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质），这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下：标注开环极点“”和零点“”；○画出n-m条渐进线。其与实轴的交点（称为重心）和倾角分别为：确定实轴上的根迹区间；计算极点处的出射角和零点处入射角：7/30/20212计算根轨迹和虚轴的交点；计算会合点和分离点：利用前几步得到的信息绘制根轨迹。注意：后两步可能不存在；在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。7/30/20213一、单回路负反馈系统的根轨迹前面所讨论的根轨迹（180度根轨迹）是基于单回路负反馈系统的。

2、[例]开环传递函数为：，画根轨迹。②实轴上根轨迹区间是：[-2，0]；③渐进线倾角：与实轴的交点为：[解]：①标出四个开环极点：0，-2，。有四条根轨迹。7/30/20214④-3+4j处的出射角：根据对称性，可知-3-j4处的出射角为：⑤与虚轴的交点：闭环特征方程为：劳斯阵为：当劳斯阵某一行全为零时，有共轭虚根。这时，。辅助方程为：，解得共轭虚根为：即为根轨迹与虚轴的交点。7/30/20215⑥会合点与分离点（重根点）：分离角为由得：由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用下述近似方法：我们知道，分离点在负实轴[-2，0]区间上，所以当s在实数范围内变化时

3、，最大时为分离点。6.2811.4915.5918.4720.020.0118.2814.578.58-2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2s可见分离点在-0.8~-1.0之间，近似取-0.9。7/30/20216⑦绘制根轨迹，如下图所示。-4-3-2-1012-5-4-3-2-1012345RealAxisImagAxis7/30/20217[解]：⑴开环零点，开环极点根轨迹有两支。起点在极点处，终点一支在开环零点处。一支在无穷远处。⑵实轴上根轨迹区间：例4-4中已求得，分别为分离点=-0.33,会合点=-1.67，分离

4、角⑶分离点和会合点：⑷绘制根轨迹。[例4-7]设开环系统传递函数为：试绘制根轨迹。7/30/20218[例4-8]设系统开环传递函数为：试绘制系统的根轨迹。[解]：开环零，极点分别为：⑴根轨迹有四支。⑵渐近线倾角重心：⑶实轴上根轨迹区间⑷实轴上无分离点和会合点。7/30/20219⑹与虚轴的交点：闭环系统的特征方程为：劳斯阵列：劳斯阵有一行全为0，表示有共轭虚根。令：辅助方程为：⑸出射角：对7/30/202110⑺绘制根轨迹图，见下图-4-3-2-1012-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5RealAxisImagAxis7/30/202111

5、特殊情况：对于开环传递函数有零极点相对消的情况。-如：则：，引起特征方程阶数的下降。处理方法见下图：-式中：以开环传递函数绘制根轨迹可得的极点。闭环系统的极点由和组合而成。由零极点相对消减少的极点由的极点来补充。见下页图。7/30/2021127/30/202113二、多回路系统的根轨迹简单处理办法：将多回路系统等效为单回路系统，再绘制180度根轨迹或参量根轨迹。三、正反馈系统的根轨迹以上我们讨论的都是闭环负反馈系统的根轨迹绘制准则。在实际的复杂系统中，可能有局部的正反馈的结构。正反馈系统的根轨迹绘制准则与负反馈系统根轨迹略有不同。如下图所示系统：+开环传递函数为

6、：闭环传递函数为：7/30/202114相应的跟轨迹方程为：幅值条件和相角条件为：与负反馈系统根轨迹比较，幅值条件相同，相角条件不同。负反馈系统的相角条件是180度等相角条件；而正反馈系统的相角条件是0度等相角条件。注意：负反馈系统根轨迹称为180度根轨迹或简称为根轨迹；正反馈系统根轨迹称为0度根轨迹。7/30/202115绘制0度根轨迹的基本准则：对称性和连续性同常规根轨迹；起点、终点和根轨迹支数同常规根轨迹；渐进线：与实轴的交点同常规根轨迹；但倾斜角不同，为：，有n-m个角度。实轴上的根轨迹：其右方实轴上的开环零极点之和为偶数（包括0）的区域。分离点、会合点和

7、分离角：同常规根轨迹；7/30/202116与虚轴的交点：同常规根轨迹；闭环极点之和与之积：同常规根轨迹。出射角和入射角：7/30/202117[例4-9]：设单位正反馈系统的开环传递函数为：，试绘制系统的根轨迹。起点在0，-1，-5处，终点在无穷远处。有3支根轨迹。渐进线：与实轴的交点倾角：实轴上根轨迹区间：[-5，-1]，[0，）分离角（点）：由得：显然，，不在根轨迹上。分离点为：。[解]：7/30/2021187/30/202119比较正负反馈的根轨迹方程：若开环传递函数为：则正负反馈的根轨迹方程分别为：可见，正反馈根轨迹相当与负反馈根轨迹的从时的根轨迹。所

8、以，可将正