5－1+复域：根轨迹法1

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1、《自动控制原理》——根轨迹法上海交通大学自动化系田作华Zhtian@sjtu.edu.cn1第五章《根轨迹法》5.1根轨迹的定义与幅相条件系统动态响应的基本特征是由闭环极点（即闭环特征方程的根）在s平面上的位置决定的。根轨迹法的基本思想是：在已知开环传递函数零、极点分布基础上，通过图解法研究系统某一个或多个参数变化时，对控制系统闭环极点分布的影响。5.1.1根轨迹的定义例设一系统闭环传递函数特征方程特征方程的根：2第五章《根轨迹法》若K1从零到无穷大变化时，特征方程根的变化情况如表所谓根轨迹图，即以系统增益K1为参变量，当K1由0→∞时，系统闭环极点在s平面上变化的轨迹。根据此图可

2、以分析参数变化对系统特性的影响。K100.1250.250.5……∞s10-0.146-0.5-0.5+j0.5……-0.5+j∞s2-1-0.854-0.5-0.5-j0.5……-0.5-j∞3第五章《根轨迹法》稳定性当增益K1由0→∞，根轨迹不会越过虚轴进入s平面右半边，因此系统对所有的值都是稳定的，稳态特性开环传递函数在坐标原点有一个极点，所以属I型系统，根轨迹上的值就是Kv。如果已知ess，则在根轨迹图上可以确定闭环极点取值的容许范围。动态特性当00.5时，闭环系

3、统是复极点，为欠阻尼状态，单位阶跃响应为衰减振荡过程。4第五章《根轨迹法》分析表明，根轨迹与系统性能之间有着较密切的联系。然而，对于高阶系统，用解析的方法绘制系统根轨迹图，显然是不适用的。我们希望能有简便的图解方法，根据已知的开环传递函数迅速绘出闭环系统的根轨迹。为此，需要：研究开环零、极点与闭环系统的根轨迹之间的关系。5第五章《根轨迹法》5.1.2根轨迹的幅相条件闭环传递函数：闭环特征方程：或由于是复数，可以用向量表示，将其分成两个方程。幅角条件：幅值条件：6设幅角条件：幅值条件或第五章《根轨迹法》7第五章《根轨迹法》凡满足幅值和幅角条件的s值，都是闭环的极点，即特征方程的根。这些

4、s值构成系统的根轨迹。关键在于找出这些s点。实际中，通常在复平面中寻找满足幅角条件的s值来绘制根轨迹曲线，用幅值条件确定根轨迹曲线上各点所对应的K1值。工程上定义：（1）当0≤K1<+∞时的根轨迹称之为主要根轨迹，简称根轨迹。（2）当—∞

5、.根轨迹的起点和终点起点（）：起始于开环传递函数的极点；终点（）：终止于开环传递函数的零点。包括m个有限远的零点（简称有限零点）和(n-m)个无限远的零点(简称无限零点)。当变化时，整个根轨迹的趋向由起点移向终点，即由开环的极点移向开环的零点。9起点：因为当时，说明根轨迹起始于开环传递函数的极点，n阶系统共有n个开环极点，每个开环极点都对应根轨迹的一个起点，所以共有n个起点。-第五章《根轨迹法》10终点：（1）有m条根轨迹终止于系统开环传递函数的m个有限零点。当时，我们把这m个零点称之为系统的有限零点。（2）有（n-m）条根轨迹终止于开环传递函数的（n-m）个无限零点。当时，上式表明

6、：有n-m条根轨迹的终点在无穷远处。我们把无穷远处的零点称之为无限零点。第五章《根轨迹法》11综上所述：系统共有n个开环零点，其中m个为有限零点，（n-m）个为无限零点。每个开环零点都对应根轨迹的一个终点，所以共有n个终点。2、根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于开环的极点数。我们把一条完整的根轨迹称之为根轨迹的一个分支，由前面的分析可知，n阶系统有n个根轨迹的起点和终点。所有的根轨迹都是有头有尾、有始有终。所以其分支数必等于开环的极点数或系统的阶数。第五章《根轨迹法》123、根轨迹的对称性根轨迹对称于实轴。特征方程的根或为实数，或为复数。必对称于实轴。4、根轨迹的渐近线（s=∞处的根轨

7、迹特征）渐近线共有(n-m)条，且相交于实轴上的同一点。渐近线于实轴的夹角：(k=0,1,2……)渐近线与实轴的交点：第五章《根轨迹法》13（1）根轨迹渐近线的倾角根据幅角条件：当时，零点、极点与矢量复角可近似看成相等得到所以渐近线的倾角：因共有(n-m)条渐近线，所以只要取(n-m)个不同的倾角即可。第五章《根轨迹法》14（2）渐近线与实轴的交点幅值条件：当，则对应于，此时，上式可写成：上式左边展开：上式右边展开比较对应s幂项系数相等，求得：所以渐近线相