4-1 根轨迹法基本概念

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1、第4章线性系统根轨迹法烟台大学光电学院根轨迹法是一种图解方法，它是经典控制理论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。由于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根（即系统的闭环极点）在s平面上的分布，因此，用根轨迹法分析自动控制系统十分方便，特别是对于高阶系统和多回路系统，应用根轨迹法比用其他方法更为方便，因此在工程实践中获得了广泛应用。本章主要介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的基本规则和用根轨迹分析自动控制系统性能的方法。§4.1根轨迹法基本概念4.4.1根轨迹概念根轨迹指开环系统某一参数从零变化到无穷时，闭环系统特征方程式的根(闭环极点)

2、在s平面上变化的轨迹。例：已知单位反馈系统结构图如图所示，系统开环传函为：——首1型系统开环极点:p1=0,p2=－2，没有开环零点。将这两个开环极点绘于图上，并用“×”表示。即由开环传递函数得闭环系统的特征方程为：所以,闭环系统的特征根(闭环极点)为当系统开环增益K从0到无穷变化时，系统闭环极点s1与s2随参数K变化，形成一条轨迹，称为系统的根轨迹。4.4.2根轨迹与系统性能1.稳定性当开环增益K从0变化到无穷时，根轨迹均在s左半平面变化，不会进入s右半平面，因此，对任意K值，系统均稳定。2.稳态性能因为开环系统只有一个极点位于原

3、点，所以系统为I型系统，其静态速度误差系数为K。3.动态性能K=0时,闭环极点s1,s2与开环极点p1,p2重合;(2)0＜K＜0.5时,s1,s2为不相等的负实根；(过阻尼)(3)K=0.5时,s1=s2=－1,即两闭环极点重合，特征方程有两相等的负实根;(临界阻尼)(4)当K＞0.5时,特征方程有两不相等的互为共轭复根;(欠阻尼)通过分析系统的根轨迹，可以清楚地看出闭环系统极点随系统某个参数变化的关系。需要指出的是,绘制根轨迹时选择的可变参数可以是系统的任何参量,但实际中最常用的是系统的开环增益。对于高阶系统,利用解析法绘制根

4、轨迹比较困难，可以利用已知的开环传函，直接绘制闭环系统的根轨迹，还可以借助于计算机求解。4.4.3闭环零、极点与开环零、极点的关系由于开环零、极点是已知的，建立开环零、极点与闭环零、极点之间的关系，有助于闭环系统根轨迹的绘制。控制系统如图所示.系统闭环传递函数为：系统开环传递函数为：称根轨迹增益)比较开环传递函数与闭环传递函数可得：(1)闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通道根轨迹增益。对单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹增益。(2)闭环零点由开环传递函数中前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点组成。对单位

5、反馈系统，闭环零点就是开环零点。(3)闭环极点与开环零、极点及开环系统根轨迹增益K*有关。根轨迹法的根本任务是：如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解法找出闭环极点。从而确定闭环传函的形式，并进一步得到闭环系统的各项性能指标。4.4.4根轨迹方程为了绘制根轨迹,需要从系统的闭环特征方程入手。反馈系统的特征方程为：1+G(s)H(s)＝0或：G(s)H(s)＝－1——根轨迹方程当系统有m个开环零点和n个开环极点时，上式为：因为GK(s)为复数，所以根轨迹方程等于：即：—幅值条件—相角条件幅值条件为充分条件，用于确定K*的

6、值；相角条件为充要条件，用于绘制根轨迹。例：单位反馈系统开环传函为：在s平面上取一试验点s1＝－1.5+j2.5，检验它是否为根轨迹上的点，若是则确定它所对应的K*值是多少？解：系统开环极点：开环零点：满足相角条件，所以s1是根轨迹上的点由相角条件：由幅值条件：得：