根轨迹法的依据（根轨迹方程）

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1、第四章根轨迹法一、本章教学目的及要求:1．掌握根轨迹的基本概念；掌握根轨迹方程、幅值条件和相角条件；2．正确理解开环零极点、闭环零极点及根轨迹的含义；3．掌握控制系统根轨迹的绘制方法，熟练绘制根轨迹；4．正确绘制出不同参量变化对系统根轨迹图；5．能够运用根轨迹法对控制系统进行分析；明确闭环零、极点的分布和系统阶跃响应的定性关系。二、本章重点、难点1.重点：根轨迹的绘制利用根轨迹分析控制系统2.关键点：根轨迹方程，幅值条件，相角条件3.难点：非最小相位系统和时滞系统根轨迹的绘制三、本章内容4.1根轨迹的基本概念4.2根轨迹的基本法则4.3广义

2、根轨迹4.4系统性能的分析四、本章学时：8学时五、本章学习方法通过具体习题练习掌握根轨迹绘制方法，不要死记硬背各种绘制法则，要多总结归纳典型极、零点分布对根轨迹的大致图形。204.1根轨迹的基本概念一．问题的提出-20当K由0→∞变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹城根轨迹，不仅直观的表示了K变化时间闭环特征根的变化，还给出了参数时闭环特征根在S平面上分布的影响。可判定系统的稳定性，确定系统的品质。20二、根轨迹与系统性能三、闭环零、极点与开环零、极点的关系G(s)C(s)R(s)H(s)20四．根轨迹方程4.2根轨迹的基本法则上图所示系

3、统的开环传递函数写成零、极的形式为：20则以k0为参数的根轨迹绘制规则如下：【规则1】根轨迹的对称性根轨迹对称与s平面的实轴【规则2】根轨迹的分支数及其起点和终点根轨迹的分支数：n条起点：n个开环极点终点：开环零点（包括无限开环零点）【规则3】根轨迹在实轴上的分布实轴上根轨迹段右侧开环零、极点数之和为奇数。【规则4】根轨迹的渐近线1、渐近线的倾角：渐近线与实轴的交点：或【规则5】根轨迹的分离点和会合点分离点、会合点：特征方程的重根点求法：1、重根法：系统的开环传递函数改写成：，则特征方程为D(s)=A(s)+KB(s)=0,若方程出现重根，

4、必须满足：，即A(s)B́(s)-Á(s)B(s)=02、试探法：说明：由上式求出的分离点应检验，舍去不在根轨迹上的值；当没有开环零点时，上式的右侧应取零。【规则6】根轨迹的出射角和入射角出射角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角。入射角：根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角。出射角的计算：，20其中：入射角的计算：　　　　　　　【规则7】根轨迹与虚轴的交点两种计算方法：1、根据劳斯判据计算具体方法：令劳斯表中s的奇数次所对应的行元素全为零，用此行的上一行构造辅助方程计算W值和对应的K值。例题：已知一系统闭环特征

5、方程为：求特征根与虚轴的交点和对应的K值。解：由上式列劳斯表：s4136Ks38800s226Ks18(260-k)s0K由劳斯表可知，当劳斯表中的s1行的所有元素为零时，即8(260-K)=0；由上一行构造辅助方程F(S)=26S2+K=0；由上述两个方程联立求解，得到这说明根轨迹与虚轴的交与对应的K值为260。2、用s=jw代入方程直接求解具体做法：将S=jw代入特征方程，令实部和虚部分别为零，联立求解。w4-36w2+K=0w(80-w2)=0以上题为例，将S=jw代入特征方程，可得；令上式的实部和虚部分别等于零，得到方程组：；求解可

6、得【规则8】特征方程根之和与根之积若把系统的开环传递函写成如下形式：20则当n－m≥2时，有下列两式成立：【规则9】根轨迹上一点s0对应的K值例题1：设一单位负反馈系统如图所示，试绘制该系统的根轨迹。解：系统的开环传递函数：1）开环零点：无；开环极点：0，－1，－22）系统有3条根轨迹分支，起点为开环极点（0，－1，－2）3）实轴上根轨迹分布如图4）渐近线：与实轴的夹角：与实轴的交点：5）分离点：→d1=-0.42d2=-1.58(不在实轴根轨迹上，舍去)K－3w2=02w－w3=06）根轨迹与虚轴的交点将s=jw代入D(s)=s(s+1)

7、(s+2)+k=0,得到方程组20解之可得：w＝±1.414；k＝6完整的根轨迹图如下：例题2：单位负反馈控制系统的开环传递函数为：，试证明根轨迹的复数部分为一圆。证明：由根轨迹的相角条件可知：arg(s+2)-arg(s)-arg(s+1)=±π令s＝σ＋jω代入上式，则得即：上式等号两侧同时取正切，化简后得这是一个圆的方程，问题得证。下图为系统的根轨迹图。204.3广义根轨迹一、参量根轨迹引入等效开环传递函数的概念等效开环传递函数注意：在此的等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相同的前提下成立；而此时闭环零点是不同的。例4.5：设单

8、位反馈系统的开环传递函数为其中开环增益可自行选定。试分析时间常数对系统性能的影响。解：闭环特征方程要绘制参数根轨迹，首先要求出等效开环传递函数的极点等效开环极点注：若分母多项式为