《根轨迹法》PPT课件

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1、自动控制原理杭州电子科技大学“自动控制原理”精品课程课题组2007.102006年度浙江省精品课程第四章根轨迹法引言4.1根轨迹的基本概念4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则4.3广义根轨迹4.4Matlab绘制根轨迹引言什么是线性系统的根轨迹？所谓根轨迹，是指当开环系统的某个参数（如开环增益K）由零连续变化到无穷大时，闭环特征根（闭环极点）在复平面上形成的若干条曲线。研究线性系统根轨迹的原因①一个控制系统的全部性质都取决于其闭环传递函数：稳定性由闭环极点唯一地确定；动态特性由闭环极点、闭环零点共同决

2、定。因此，在分析研究控制系统的性能时，确定闭环极点、闭环零点在复平面上的位置就显得特别重要。②闭环零点与开环零、极点有关，闭环和开环比例系数之间也有简单的关系，都不难确定。唯有闭环极点的确定比较麻烦。③欲知闭环极点在复平面上的位置，就要求解系统特征方程，当特征方程阶次较高时，计算相当麻烦。④研究系统参数变化对闭环极点位置的影响，对分析、设计控制系统是很有意义的。根轨迹法一种求取闭环系统的特征根的图解法（1948年，由W.R.Evans在“控制系统的图解分析”一文中提出）。已知开环零极点分布，研究一个或

3、几个参数变化对闭环极点位置的影响，从而进一步分析系统的性能（如稳定性、动态性能、稳态性能等）。以前控制系统根轨迹绘制很麻烦，现在使用MATLAB非常方便。4.1根轨迹的基本概念1、根轨迹的基本概念图4-1控制系统框图(1)将图4-1所示系统的开环传递函数转化为上式便是绘制根轨迹所用的开环传递函数的标准形式——零极点增益形式。(2)将两个开环极点p1=0和p2=-2绘于复平面上，并用“×”表示。(3)求出闭环系统的特征方程和闭环极点(4).闭环系统极点与标准化参数之间的关系可由图4-2表示图4-2二阶系

4、统根轨迹从图中可以看出当k=0时，p1、p2与s1、s2重合，即开环极点和闭环极点重合;当0

5、性有明显差别；稳态性能——系统属于I型系统，K即为静态速度误差速度系数。如果给定稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的允许范围。根轨迹是连续且对称于实轴的，这也是根轨迹的一个特性；绘制根轨迹时选择的可变参数可以是系统的任何参量，但最常用的是系统的开环增益——常规根轨迹。2、闭环零、极点与开环零、极点间的关系前向通道根轨迹增益反馈通道根轨迹增益前向通道增益开环系统根轨迹增益前向通道零点反馈通道零点前向通道极点反馈通道极点m个零点(m=f+l)n个极点(n=q+h)m个零点(m=f+l)n个极点

6、(n=q+h)3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹增益均有关；根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出闭环极点!单位反馈系统1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件绘制根轨迹，需要从系统的闭环特征方程入手。设负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)，其中G(s

7、)和H(s)分别为控制系统的前向通道传递函数和反馈通道传递函数，则闭环系统的特征方程为将上式改写成绘制根轨迹所依据的条件是幅值条件相角条件m个零点、n个极点（nm）幅值条件1）幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；2）必要条件相角条件1）幅角条件只与开环零、极点有关2）充要条件用幅角条件来绘制根轨迹，用幅值条件来确定已知根轨迹上某一点K的值！！几点说明：实际上满足相角条件的任一点，一定可以找到相应的可变参数值，使幅值条件成立。相角条件也是根轨迹的充要条件。利用相角条件可确定根轨迹的

8、形状，但利用幅值条件才可求得给定闭环极点所对应的增益K。进行相角计算时，规定正实轴方向为0°，逆时针方向为相角的正方向。相角条件说明：Σ(由各开环零点指向轨迹点的方向角)–Σ(由各极点指向轨迹点的方向角)=指向正左方。L(s)的相角绘制根轨迹的一般规则绘制系统的根轨迹，首先写出系统的特征方程然后将此方程中开环传递函数部分改写为零极点增益形式，即特征方程可等价为上式为绘制根轨迹的标准形式。规则一根轨迹各条分支是连续、关于实轴对称特征方程中的某些系数是连续变