线系统的根轨迹法

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1、第四章线性系统的根轨迹法●本章主要内容与重点●根轨迹方程●根轨迹绘制的基本法则●广义根轨迹本章阐述了控制系统的根轨迹分析方法。包括根轨迹的基本概念、绘制系统根轨迹的基本条件和基本规则,参量根轨迹和零度根轨迹的概念和绘制方法，以及利用根轨迹如何分析计算控制系统的性能（稳定性、暂态特性和稳态性能指标等）。本章重点本章主要内容学习本章内容,应重点掌握根轨迹的基本概念、绘制根轨迹的条件、系统根轨迹的绘制规则和利用根轨迹分析系统的稳定性、暂态特性和稳态性能,参量根轨迹的概念和绘制方法,理解零度根轨迹的基本概念和绘制方法。4-1根轨迹方程特征方

2、程的根运动模态系统动态响应（稳定性、系统性能）根轨迹开环系统（传递函数）的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程根在s平面上的轨迹称为根轨迹。若闭环系统不存在零点与极点相消，闭环特征方程的根与闭环传递函数的极点是一一对应的。例二阶系统的根轨迹开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环极点的全部数值。根轨迹与系统性能稳定性考察根轨迹是否进入右半s平面。稳态性能开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态误差系数。但是由开环传递函数绘制根轨迹，K是根轨迹增益，根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系

3、。动态性能由K值变化所对应的闭环极点分布来估计。对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到根轨迹。根轨迹法图解法求根轨迹。从开环传递函数着手，通过图解法来求闭环系统根轨迹。闭环零、极点与开环零、极点之间的关系设控制系统如图所示和：前向通路增益：前向通道根轨迹增益：反馈通道根轨迹增益结论：（1）闭环系统的根轨迹增益=开环前向通道系统根轨迹增益。（2）闭环系统的零点开环前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点所组成。（3）闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益均有关。根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法

4、确定闭环极点。根轨迹方程由闭环传递函数当求出相应的根，就可以在s平面上绘制出根轨迹。根轨迹方程根轨迹方程可以进一步表示为相角条件（幅角条件）：（充分必要条件）模值条件（幅值条件）：4-2根轨迹绘制的基本法则可变参数为根轨迹增益相角条件：180o相轨迹规则1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。简要证明：又从在实际系统通常是，则还有条根轨迹终止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有个无限远（无穷）零点。有两个无穷远处的终点有一个无穷远处的起点规则2：根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m

5、）或与开环有限零点数m相等（nm时，则有（n-m)条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。与实轴夹角与实轴交点例1设单位反馈系统的前向传递函数为（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴（1）（3）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线与实轴夹角与实轴交点图示P.1354-6规则4：实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数

6、零点数+开环实数极点数）为奇数。这个结论可以用相角条件证明。由相角条件图示证明：P.136图4-7规则5：根轨迹分离点两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点称为分离点（会合点）。分离点（会合点）的坐标d由下列方程所决定：或注：（1）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根。（2）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。（3）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。例2绘制图示系统大致的根轨迹解（1）开环零点开环极点根轨迹分支数为3条，有两个无穷远

7、的零点。（2）实轴上根轨迹（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点（4）分离点（用试探法求解）例3：设单位反馈系统的传递函数为试绘制系统的根轨迹。解（1）一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支；有一个无穷远处的零点。（2）渐近线与实轴重合的，实轴上根轨迹（-，-2]。（3）分离点（4）由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心为（-2，j0)，半径为规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角）起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴的夹角。终止角（入射角）：根轨迹进入复平面上开环零点处的切线与实

8、轴的夹角。例4规则7：根轨迹与虚轴的交点交点对应的根轨迹增益和角频率可以用劳斯判据或闭环特征方程（）确定。例5设系统开环传递函数试绘制系统大致的根轨迹。解（1）无开环零点，开环极点在实轴上根轨迹[-3，0]。（2）有4条分支趋向无穷远