自动控制原理-线性系统的根轨迹法1.ppt

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1、第四章线性系统的根轨迹法4.1引言控制系统的基本性能（稳定性、动态性能）主要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点）。因此，确定闭环极点的位置，对于分析和设计系统具有重要意义。为了避免直接求解高阶系统特征方程根的麻烦，1948年W.R.Evans提出了一种图解法－－根轨迹法。根轨迹法是用于分析和设计线性定常控制系统的一种工程方法。具有简便、直观及物理概念明确等特点，因此在工程实践中获得广泛应用。本章重点研究问题根轨迹法的概念、绘制根轨迹的规则、非最小相位系统的根轨迹、广义根轨迹、增加开环极零点对根轨迹的影响、用根轨

2、迹分析系统性能。1考虑某一参数变化后，闭环极点运动规律（轨迹），了解闭环系统动态性能的变化。利用系统的开环传递函数的零极点分布来研究闭环系统的极点的分布。G(s)H(s)+-闭环传递函数分母为零称闭环系统特征方程式4.2根轨迹法的概念2若闭环系统不存在零点与极点相消，闭环特征方程的根与闭环传递函数的极点是一一对应的。例:二阶系统的根轨迹开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环极点的全部数值。1.根轨迹的定义开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在s平面上的轨迹称为根轨迹。3

3、Ks1s200-20.25-0.3-1.70.5-1-11-1+j-1-j2.5-1+j2-1-j2∞-1+j∞-1-j∞42.根轨迹与系统性能稳定性考察根轨迹是否进入右半s平面。稳态性能开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许位置。由开环传递函数绘制根轨迹，通常采用根轨迹增益，根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系。动态性能由K值变化所对应的闭环极点分布来估计。5对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析

4、方法得到根轨迹。根轨迹法从开环传递函数着手，通过图解法来求闭环系统根轨迹。设控制系统如图所示3.闭环极点与开环零、极点之间的关系67根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。结论：闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益均有关。8由闭环传递函数当求出相应的根，就可以在s平面上绘制出根轨迹。根轨迹方程4.根轨迹方程9根轨迹方程可以进一步表示为相角条件（幅角条件）：（充分必要条件）模值条件（幅值条件）：10由开环零、极点指向轨迹点的向量的方位角。(2)根轨迹上的点符合相角条件，且符合相角

5、条件的点一定在根轨迹上。故相角条件是根轨迹的充要条件。(1)当从变化时，S平面上系统特征根的变化形成轨迹。每一个值，按幅值条件对应于根轨迹上的n个点。11例4.1开环极点：无开环零点闭环系统特征方程式:闭环特征根:1.2.3.4.验证：124-3根轨迹绘制的基本法则常规根轨迹：可变参数为根轨迹增益相角条件：180o根轨迹规则1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。简要证明：13又从为了避免丢失方程的根，在上式中作变换：这仍然是个n次方程：对应有：14在实际系统通常是，因此有条根轨迹终止于s平

6、面的无穷远处，这意味着在无穷远处有个无限远（无穷）零点。有两个无穷远处的终点有一个无穷远处的起点15规则2、3：根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m）或与开环有限零点数m相等（n

7、>m时，则有（n-m)条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。与实轴夹角与实轴交点18192021例1设单位反馈系统的前向传递函数为（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴（1）（3）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线22与实轴夹角与实轴交点2324规则6：根轨迹分离点和会合点两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点称为分离点（会合点）。分离点（会合点）的坐标d由下列方程所决定：0j分离角为：0jj025系统闭环特征方程为根轨迹若有分离点，表明闭环特征方程

8、有重根，重根条件为两式相除得简单证明：26解（1）开环零点开环极点根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。例2绘制图示系统大致的根轨迹代入得27（2）实轴上根轨迹（4）分离点（用试探法求解）（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点28例3：设单位反馈系统的传递函数为（1）一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支；有一个无穷远处的零点。（2）渐近线与实轴重合的，实轴上根轨迹