3、把代数方程写成如下形式,即:并令:则左式分母的根为-1和-2,恰为当K=0时,代数方程的两个根,也即两条根轨迹分支的起点.(3)两条根轨迹分支离开实轴,进入复平面后,在复平面上的根轨迹关于实轴成镜向对称.实际控制系统往往是高阶的,即其闭环特征方程是S的高阶代数方程.当系统中某环节的某个参数发生变化,或为改善系统的控制性能而改变系统中某环节的某个参数时,系统的闭环极点也即闭环特征方程的根也发生相应的变化.而闭环系统的控制性能与闭环极点在极点平面上的位置有密切的联系.这就需要事先从理论上分析闭环极点随某个参数变化时在极点平面上的变化趋势从而得出
4、某个参数的变化对系统性能的影响程度,作出理论上的指导.而上例的方法正好可引入到对控制系统的分析和设计上来.1.根轨迹定义定义:当系统中某个(或几个)参数从0到+∞连续变化时,系统闭环特征方程的根(即闭环极点)在根平面(S平面)上连续移动而形成的轨迹.称为系统的根轨迹.2.根轨迹方程闭环控制系统的一般结构图如下所示:H(S)G1(S)G2(S)R(S)Y(S)其开环传递函数,开环传递函数是各个环节传递函数的乘积形式.由于系统中各个环节一般为典型环节,而典型环节的传递函数一般不超过二阶,其分子和分母的S多项式极易因式分解,从而开环传递函数的零极
5、点也容易获得.因此,闭环系统的开环传递函数可表为:式(1)中:阶数.是G0(S)的零点,i=1,2,….m是G0(S)的非零极点,j=1,2,….r表示有N个数值为0的极点,且N+r=n,n为系统的K叫开环系统的增益,K’叫开环系统的根轨迹增益,K与K’的本质相同,仅它们间的值有一系数关系,即:闭环系统的特征方程为:,即:,将式(1)代入式(3)中:式(3)叫根轨迹方程,此方程又可分为下面两个方程:是的模;是的模;是的幅角;是的幅角;式(4)叫根轨迹的幅值条件,式(5)叫根轨迹的相角条件.在S平面上凡满足相角条件的点一定是闭环极点,即是闭环
6、特征方程的根,凡不满足相角条件的点一定不是闭环极点,因此相角条件是绘制根轨迹的充分必要条件.根轨迹上某一点对应的K’的值可由幅值条件求出.是的幅角;如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹,将会非常不方便.人们利用前面介绍的几个式子,导出一些绘制根轨迹的法则利用导出的法则,可方便地绘制出根轨迹的大至形状,叫概略根轨迹,这在利用根轨迹对系统进行初步分析和设计时已基本可用了.4-2根轨迹绘制的基本法则本节通过一个例子,介绍绘制根轨迹的七条法则,但对法则不予推导和证明.需指出的是,绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环传递函数的零点和极点的具体数
7、值,一般以K’为参变量.例:某闭环系统的开环传递函数为:上例中:将上述开环零点和极点尽可能准确标在S复平面上,习惯上用叉号标记开环极点,用小圆圈标记开环零点,如下图:0p1123-6p2-8p3-10z2-1z1p4p5p6p7z3z4jωσ法则1根轨迹的起点和终点:根轨迹起始于开环极点,对应于K’=0,终止于开环零点,对应于K’=+∞.注意:当n>m时,有n-m条根轨迹的终点隐藏于S平面上的无穷远处;当n8、极点也叫无限零点和极点.法则2根轨迹的分支数和对称性:根轨迹的分支数与开环有限零点个数m和有限极点个数n中的大者相等.它们是连续的并与实轴成镜像对称.法则3实轴上的根轨迹:实轴上
