复变 积分变换.ppt

《复变 积分变换.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、积分变换哈尔滨工程大学理学院冯国峰引言变换：原问题变换较易解决的问题直接求解较难求解原问题的解逆变换在变换域里的解例如：对数变换、解析几何的坐标变换、高等代数中的线性变换；在积分中的变量代换和积分运算化简；在微分方程中所作的自变量或未知函数的变换；复变函数的保角变换；积分变换。引言积分变换：通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。积分域；积分变换的核；象原函数；称为的象函数。引言当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。傅里叶（Fourier）变换：变换核为；积分域拉普拉斯（Laplace）变换：变换核为；积分域Z

2、变换、梅林（Mellin）变换、汉科尔（Hankel）变换，小波变换。引言一般来说，当用积分变换去求解微分方程或其它方程时，在积分变换之下，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，直至变成常微分方程；原来的常微分方程可以变成代数方程，从而使得在函数类B中的运算简化，找出在B中的一个解，再经过逆变换，就得到原来要在函数类A中所求的解。（当然，上述求变换与求逆变换是可以依赖于积分变换表来完成的）。第一章傅立叶（Fourier）变换第1节傅立叶积分公式第2节傅立叶变换第3节傅立叶变换的性质第4节卷积与相关函数1-1傅立叶积分公式如果是以T为周

3、期的周期函数，并且在上满足狄利克雷（Dirichlet）条件：即函数在上满足：1、连续或至多只有有限个第一类间断点；2、至多只有有限个极值点。那么在上的连续点t处，可以展开成傅里叶级数。若t是的间断点，则1-1傅立叶积分公式级数的三角形式：其中1-1傅立叶积分公式傅里叶级数的复指数形式：1-1傅立叶积分公式傅里叶积分公式1-1傅立叶积分公式[傅里叶积分定理]若在任何有限区间上满足狄利克雷条件，并且在无限区间上绝对可积（即积分收敛），则有1-1傅立叶积分公式傅里叶积分公式的三角形式：1-1傅立叶积分公式傅里叶正弦积分公式傅里叶余弦积分公

4、式1-1傅立叶积分公式[例1-1]求函数的傅里叶积分表达式。[解]1-1傅立叶积分公式狄利克雷积分:[例1-2]证明1-2傅立叶变换傅里叶积分公式：傅里叶变换：傅立叶逆变换：1-2傅立叶变换在不考虑在间断点的取值时，和通过指定的积分运算可以相同表达，即和在傅里叶变换下是一一对应的。为此，称和构成了一个傅里叶变换对，记为。它们有相同的奇偶性。1-2傅立叶变换傅里叶正弦积分公式：傅里叶正弦变换式（正弦变换）：傅里叶正弦逆变换式：1-2傅立叶变换傅里叶余弦积分公式：傅里叶余弦变换式（余弦变换）：傅里叶余弦逆变换式：1-2傅立叶变换[例1]求

5、单边指数衰减函数（其中为常数）的傅里叶变换和傅里叶积分公式。[解]当时，上式左端应为1-2傅立叶变换1-2傅立叶变换[例2]设，，试证：和是一对傅里叶变换对。[证明][注]为傅里叶核，虽然它在不绝对可积，但其傅里叶变换是存在的。1-2傅立叶变换[例3]求矩形脉冲函数的傅里叶变换，且利用傅里叶积分公式证明：1-2傅立叶变换[例5]求函数的正弦变换和余弦变换。[解]1-2傅立叶变换[例6]求积分方程[解]1-2傅立叶变换傅里叶变换的物理意义——频谱1非正弦的周期函数的频谱2非周期函数的频谱1-2傅立叶变换1非正弦的周期函数的频谱1-2傅立

6、叶变换第n次谐波：第n次谐波的频率：第n次谐波的振幅：基波：基频：相位：1-2傅立叶变换复指数形式：1-2傅立叶变换这些直线段称为谱线，而全体称为周期函数的振动频谱（简称为频谱）。频率与振幅的关系图称为频谱图。周期函数有离散频谱。1-2傅立叶变换[例7]周期矩形脉冲波在一个周期内的表达式为设和，分别作出相应的频谱图。1-2傅立叶变换2非周期函数的频谱傅立叶变换又称为的频谱密度函数，它的模称为的振幅频谱，也简称为频谱。由于是连续变化的，这时频谱图是连续曲线，所以称这种频谱为连续频谱。也就是说，非周期函数有连续的频谱图。对一个时间函数作傅

7、立叶变换，就是求这个时间函数的频谱函数。注意，1-2傅立叶变换定义的幅角主值为函数的相角频谱。1-2傅立叶变换[例8]求单边指数衰减函数的振幅频谱和相角频谱。[解]1-2傅立叶变换[例9]求单位脉冲函数的振幅频谱和相角频谱。[解]第3节单位脉冲函数1、物理意义2、定义3、性质4、导数及其性质5、广义傅立叶变换第3节单位脉冲函数1、单位脉冲函数的物理意义：（1）集中质量的密度；（2）电学中的集中电荷。第3节单位脉冲函数2、单位脉冲函数的定义：（1）类似普通函数形式的定义函数是满足如下两个条件的函数。（1）（2）（2）普通函数序列极限形式

8、的定义（3）第三种定义第3节单位脉冲函数多维函数的定义：（1）（2）性质：第3节单位脉冲函数3、单位脉冲函数的性质：（1）线性性质：（2）分段性质：第3节单位脉冲函数3、单位脉冲函数的性质：（3）筛选性质：（4）时间尺度