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1、复变函数与 积分变换复习2011.12中国农业大学考试： 时间：12月31号星期六 上午：10：40-12:20三教10611补考学生47试验102三教11271测控101通信101自动101三教12466电子092电子101电子102三教128110地信081电气101电气102电气103电信101第一章主要知识点：第二章解析函数定义1设函数在包含的某区域内有定义，当变量在点处取得增量时，相应地，函数取得增量若极限存在，则称在点处可导，1.2可导与连续的关系可导=>连续1.4导数运算法则复变函数的求导法则（以
2、下出现的函数均假设可导）：（2）其中为正整数；（4）（1）其中为复常数；（3）；（5）（6）；（7）是两个互为反函数的单值函数，且；1.4导数运算法则复变函数的求导法则（以下出现的函数均假设可导）：（2）其中为正整数；（4）（1）其中为复常数；（3）；（5）（6）；（7）是两个互为反函数的单值函数，且；如果函数在区域内每一点都解析，则称在区域内解析或称为区域内的解析函数，区域称为的解析区域.2解析函数的概念定义3如果函数不仅在点处可导，而且在点的某邻域内的每一点都可导，则称在点处解析，并称点是函数的解析点；如果
3、在点处不解析，则称为的奇点.解析函数的运算性质：（1）若函数和在区域内解析，则、、在内也解析；（2）若函数在区域内解析，而在区域内解析，且，则复合函数在内也解析，且.函数解析的充要条件定理１设函数在区域内有定义，则在内可导的充分必要条件为在内任一点处（1）可微；（2）满足柯西—黎曼（Cauchy-Riemann）条件（或方程），简称C—R条件（或方程）定理二定理二（B）初等函数1.指数函数(1)定义（2）解析性（3）性质2.对数函数(1)定义记作：（1）定义设a为不为零的一个复数，b为任意一个复数，定义乘幂为3
4、.乘幂和幂函数4.三角函数和双曲函数（1）定义（2）性质注：第三章复变函数的积分性质：解析函数沿闭曲线积分：柯西-古萨基本定理复合闭路定理、柯西积分公式、高阶求导公式、洛朗级数留数定理（孤立奇点情形）解析函数与调和函数的关系方法三、利用解析函数导数公式第四章级数复数列、与复级数幂级数收敛半径泰勒级数、洛朗级数展开2、洛朗级数第五章留数孤立奇点的分类留数定义、定理、求孤立奇点的留数应用留数：留数定义留数定理计算孤立奇点的留数（可去、本性、极点的三个规则）留数定理计算三种类型的积分积分变换Fourier变换的定义、
5、简单函数的Fourier变换函数的定义和性质性质Fourier变换的应用第一章Fourier变换为连续点为间断点Fourier积分存在定理若函数在任何有限区间上满足狄氏条件（即函数在任何有限区间上满足：(1）连续或只有有限个第一类间断点(2)至多有有限个极值点）,并且在上绝对可积则有：=ℱ[]也叫做的Fourier积分表达式=ℱ叫做的Fourier变换,象函数,可记做叫做的Fourier逆变换,象原函数,记作：－函数及其Fourier变换1.3.2函数的性质（1）对任意的连续函数,都有（2）函数为偶函数,即（3
6、）其中,.（3）其中,称为单位阶跃函数.反之,有.常见函数的Fourier变换对1.4Fourier变换的性质1线性性质ℱ=ℱ设为常数则=ℱℱ5微分性质（1）象原函数的微分性质且则若=ℱ一般地,若ℱ则ℱℱ或6积分性质7Fourier变换的卷积与卷积定理1．上的卷积定义若给定两个函数,则积分称为函数的卷积,记为2．傅氏变换的卷积定理=ℱ=ℱ(1)若则ℱℱ=ℱ=ℱ(2)频谱卷积定理则ℱ若Laplace变换的定义、简单函数的Laplace变换性质、求Laplace逆变换（用简单函数和留数方法）laplace变换的应用
7、第二章Laplace变换1.1拉普拉斯变换的概念定义1设函数当有定义,而且积分是一个复参量）在所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为我们称上式为函数的拉普拉斯变换式,记做ℒ叫做的拉氏变换,象函数.叫做的拉氏逆变换,象原函数,=ℒ1.2拉普拉斯变换存在定理若函数满足下列条件Ⅰ在的任一有限区间上连续或分段连续,时,的增长速度不超过某一指数函数,亦即存在常数Ⅱ当时,及,使得成立,则函数的拉氏变换在半平面上一定存在.此时右端的积分绝对收敛而且一致收敛.并且在此半平面内为解析函数常用函数的Laplace变换2
8、、拉普拉斯变换的性质2.1线性性质ℒ设为常数则ℒℒℒ2.2相似性质若=ℒ则ℒℒ2.3平移性质（1）象原函数的平移性质ℒℒ为非负实常数,则ℒ若（2）象函数的平移性质ℒ为实常数,则ℒ若2.4微分性质（1）象原函数的微分性质一般地,ℒ则ℒ若ℒ特别地,当时,ℒ可以证明ℒ（2）象函数的微分性质ℒ从而若则ℒℒℒℒ2.5积分性质ℒ则ℒ若ℒ（1）象原函数的积分性质一般地ℒℒ则ℒ（2）象函数的积分性质一
