复变函数和积分变换.ppt

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1、复变函数与积分变换第一章复数与复变函数第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章级数第五章留数第六章保角映射第七章Fourier变换第八章Laplace变换第一章复数与复变函数复数及其代数运算复数的表示复数的乘幂与方根复平面点集与区域复变函数复变函数的极限与连续i为虚数单位，复数：形为z=x+iy的数称为复数。为实数，1）实部Rez=x；虚部Imz=y2）复数无大小3）复数相等：设则：4）复数、实数、虚数的关系复平面一对有序实数（x，y）平面上一点P，向量复数z=x+iyxyz=x+iyO实轴、虚轴、复平面Z平面、w平面复数的模复数的幅角1）z=0的辐角不定2）主辐角3）辐角4)

2、辐角有无穷多个复数的三角形式与指数形式利用极坐标来表示复数z，则复数z可表示为：三角式：指数式：复数的四则运算规定：b)按上述定义容易验证加法交换律、结合律乘法交换律、结合律和分配律均成立。几何意义：平面上一矢量与一复数z构成一一对应，复数的加减与矢量的加减一致。xyO加法运算xyO减法运算复数乘法设定理：xyO指数形式表示推广至有限个复数的乘法除法运算或者利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。例：已知正三角形的两个顶点为求三角形的另一个顶点。xyOc)共轭复数：互为共轭复数容易验证1）2）3）复数的乘幂n个相同复数z的乘积称为z的n次幂复数的方根设为已知复数，n为正整

3、数，则称满足方程的所有w值为z的n次方根，并且记为设则即当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：例：即复平面点集与区域（1）邻域（2）去心邻域（3）内点点z是点集E的内点存在z的某个邻域含于E内，即（4）外点点z是点集E的外点存在z的某个邻域不含E内的点（5）边界点点z既非E的内点，又非E的外点边界点的任一邻域无论多小，都既含有E的内点，又同时含有E的外点。（6）开集点集E中的点全是内点（7）闭集开集的余集空集和整个复平面既是开集，又是闭集。（8）连通集E中任意两点可以用一条全在E中的折线连接起来。（9）区域非空的连通开集（10）有界区域如果存在正数M，使得对于一切E

4、中的点z，有（11）简单曲线、光滑曲线点集称为z平面上的一条有向曲线。则称E为有界区域。简单曲线：简单闭曲线：光滑曲线：（12）单连通区域设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部仍属于D，则称D为单连通区域，否则称多连通区域。没有交叉点。（方向）平面图形的复数表示求平面图形的复数形式的方程（或不等式）；也可以由给定的复数形式的方程（或不等式）来确定所表示的平面图形。例：Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为Z平面上以为中心、R为半径的圆周方程为（1）连接z1和z2两点的线段的参数方程为（2）过两点z1和z2的直线L的参数方程为（3）z1、z2，z3三点共线得充要

5、条件为例：考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。（1）该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接点2i和－2的线段的垂直平分线，它的方程为y=－x。（2）设z=x+iy,（3）表示实轴方向与由点i到z的向量之间交角的主值，因此满足方程的点的全体是自i点出发且与实轴正向夹角为45度的一条半射线。（不包括i点）（4）例：指出不等式中点z的轨迹所在范围。解：因为所以于是有它表示在圆外且属于左半平面的所有点的集合复变函数设D是复平面内的一个集合，对于D中的每一个z，按照一定的规律，在另一个复平面有一个或多个复数w的值与之对应，则称w为定义在D上的

6、复变函数，记做单值函数f(z):对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。多值函数f(z):对于D中的每个z，有两个或两个以上w与之对应。我们主要考虑单值函数注：定义集合D所在的复平面称作z平面，函数值集合所在的复平面称作w平面映射f(z)是单射（或一对一映射）对于任意f(z)是满射f(z)是双射f(z)既是单射，又是满射。象、原象例：一个复变函数等价于两个二元实函数复变函数的几何意义复变函数的极限与连续函数的极限定义：设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域如果有一确定的数A存在，对于任意给定的相应地必有一正数使得当时有那么称A为f(z)当z趋向z0时的极限，记作几何意义：当变

7、点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时，它的象点f(z)就落入A的预先给定的小邻域内。注意：z趋于z0的方式是任意的定理一定理二关于极限的计算，有下面的定理。例证明函数当z趋于0时的极限不存在。解法一令z=x+iy,则所以极限不存在。解法2利用复数的三角表示式当z沿着不同的射线趋于零时，f(z)趋于不同的值。如极限不存在。函数的连续如果那么f(z)在z0处连续。如果f(z)在D内各点都连续，那么f(z)在D内连续。定理：f(z)在z0处连续的充分必要条件是u(x,y),v(x,y)在（x0，y