第5章_线性代数.ppt

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1、小行星轨道计算数值矩阵运算特征值问题及应用符号矩阵运算第5章线性代数例1.小行星轨道问题观察一颗绕太阳运行的小行星,测得坐标数据x4.55965.08165.55465.96366.2756y0.81451.36851.98952.69253.5265a1xj2+2a2xjyj+a3yj2+2a4xj+2a5yj+1=0轨道方程(j=1,2,3,4,5)a1=?a2=?a3=?a4=?a5=?%----解方程组确定行星轨道X=[4.5596;5.0816;5.5546;5.9636;6.2756];Y=[0.8145;1.3685;1.9895;2.6925;3.5265];A

2、=[X.*X,2*X.*Y,Y.*Y,2*X,2*Y];b=[-1;-1;-1;-1;-1];z=Ab;a1=z(1);a2=z(2);a3=z(3);a4=z(4);a5=z(5);symsxyF=a1*x^2+2*a2*x*y+a3*y^2+2*a4*x+2*a5*y+1;ezplot(F,[-1,6.5,-1.5,6])holdon,plot(X,Y,'ro')程序文件mlab41.m1.矩阵运算一(1)+，－，*，/，，^(2).*，./，.，.^注意：这四类运算表示对矩阵元素作对应运算。例如：A=[1,2;3,4]，则：注意：2、矩阵运算二(2)矩阵的逆：inv(A)(

3、3)矩阵的初等行变换：rref(A)(4)矩阵的秩：rank(A)3、矩阵的转置、翻转与重塑(1)矩阵转置:B=A’(2)矩阵翻转:fliplr(A)—左右翻转flipud(A)—上下翻转(3)矩阵重塑：reshape(A,m,n)P1(x1,y1)P2(x2,y2)P3(x3,y3)S(1)矩阵的行列式：det(A)eig(A)只返回特征值[P,D]=eig(A)：P保存特征向量，D保存特征值例2.简单迁移模型:每年A镇的人口10%迁往B镇;B镇的人口15%迁往A镇.模型如下0.8321-0.70710.55470.7071P=1.0000000.7500D=A=[0.9,0.15;

4、0.1,0.85];[P,D]=eig(A)4、矩阵的特征值和特征向量(1)如何求出n年以后的人口分布？(2)当n趋于无穷大时,人口分布如何？(3)与特征值问题有无联系?根据数学模型研究问题:0.60000.60000.40000.4000A40=A=[0.9,0.15;0.1,0.85];[P,D]=eig(A);alpha=P(:,1);q1=alpha(1)/sum(alpha)q2=alpha(2)/sum(alpha)q1=0.6000q2=0.4000例3.对称正定矩阵线性变换实验t=0:0.1:6.3;x=cos(t);y=sin(t);A=[0.9,0.1;0.1,0.

5、9];z=A*[x;y];u=z(1,:);v=z(2,:);plot(x,y),axisequalfigure,plot(u,v)Dmax=max(sqrt(u.^2+v.^2))Dmin=min(sqrt(u.^2+v.^2))D=eig(A)Dmax=1.0000Dmin=0.8000D=0.80001.0000思考题:如果A是非对称矩阵是否仍有类似结果?程序文件mlab43.m四、符号矩阵运算1、符号矩阵的四则运算符号矩阵的四则运算与幂运算可直接用：+、－、*、.*、/、./、、.、^、.^实现。>>B=sym('[a,b;c,d]');>>C=sym('[x,y;z,w]

6、');>>B*Cans=[a*x+b*z,a*y+b*w][c*x+d*z,c*y+d*w]2、符号矩阵的其他运算(1)转置运算：transpose>>B=sym('[a,b;c,d]');>>B'[conj(a),conj(c)][conj(b),conj(d)]>>transpose(B)[a,c][b,d](2)行列式运算：det(A)(3)求逆运算：inv(A)或A^(-1)(4)求秩运算：rank(A)(5)求特征值运算：[V,D]=eig(A)>>A=sym('[1,2;3,4]')>>eig(A)ans=[5/2+1/2*33^(1/2)][5/2-1/2*33^(1/2

7、)](6)奇异值运算：svd(A)>>A=[1,2;3,4];>>svd(A)ans=5.46500.3660>>sqrt(eig(A'*A))ans=0.36605.4650(7)约当标准型运算：[B,C]=jordan(A)3、符号代数线性方程(组)的求解>>f='a*x^2+b*x+c';>>solve(f)ans=[1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))][1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]>>