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1、§3.1向量的概念及其运算1.设解:第三章习题答案解:2.已知解:3.设解:4.写出向量的线性组合,其中:(1)(2)(1)(2)5.设向量组问:向量可以由向量写出其表达式.线性表示?若可以，解：设即所以向量可以由向量则有:解方程组得：线性表示§3.2线性相关与线性无关一.判断下列向量组的线性相关性(1)解:由于与对应分量不成比例,所以与线性无关.(2)解:由于向量组中含有零向量,所以向量组线性相关(3)解:∴向量组线性无关.(4)解:即有也即有由于齐次线性方程组的系数行列式齐次线性方程组有非零解,由于方法2:所以线性相关.(5)因为向量个数大于
2、向量维数，所以向量组线性解:相关。二.填空题(1)已知向量组线性相关,则k=__.解:则有:即有:2即k=2时,(2)设向量组线性无关,则a,b,c必满足关系式_______________.a·b·c≠0解:要使线性无关,则有所以a,b,c需满足a·b·c≠0.n维单位向量组(3)都可由向量组线性表示,则r____n.解:因为n维单位向量组线性无关,且每个向量都能由向量组线性表示,由课本72页推论1知:三.选择题线性无关的充分必要条件是().中必有两个向量的分量对应(1)向量组(A)向量组不成比例;(B)向量组中不含零向量;(C)向量组中任意一个向量都不能
3、由其余n-1个向量线性表示;(D)存在全为零的数使成立.C(2)设其中则有().(A)向量组是任意实数,总线性相关;(B)向量组总线性相关;(C)向量组总线性无关;(D)向量组总线性无关.C四.若已知向量组证明线性无关,线性相关.由于向量组证:1、线性无关,则线性无关.2、线性无关.(1)四.若已知向量组证明线性无关,线性无关.由于向量组证:1、线性无关,线性相关.2、线性相关.(2)令3、已知向量组问线性无关,是否线性无关？解:向量组考察向量方程由于向量组线性无关.3、已知向量组问线性无关,是否线性无关？当m为偶数时，方程组有非零解，则向量组线性相关解:向
4、量组当m为奇数时，方程组有零解，则向量组线性无关。五.设有向量组问：向量能否由向量组唯一线性表示?解:由于向量组线性相关,则向量只要向量组线性无关,唯一线性表示.必可由向量组线性无关.唯一线性表示.由于所以向量组因此向量能由向量组六.设已知向量组向量组线性相关,线性表示？证明你的结论。解:（1）,且表达式唯一。（2）(1)根据向量组线性相关性的性质可得：线性无关，问能否由能否由线性表示？证明你的结论。线性表示能由因为线性无关，则线性无关，线性相关,又因为线性表示能由六.设已知向量组向量组线性相关,线性表示？证明你的结论。用反证法证明：解:（1）即：（2
5、）(2)代入上式得：线性无关，问能否由能否由线性表示？证明你的结论。不能由线性表示能由线性表示设由（1），可设即能由线性表示线性相关.与已知条件矛盾，假设不成立，故命题成立.一.填空题1、若解:则向量组由于所以向量组是线性______.线性无关.§3.3向量组的秩此向量组的部分组仍线性无关.应填:无关.无关2、设向量组(Ⅰ)的秩为向量组(Ⅱ)的秩为相等解:因为二向量组等价,则它们的秩相等.应填:相等或且(Ⅰ)≌(Ⅱ)，二.选择题1、若向量组是向量组的极大线性无关组,则下列论断不正确的是().解:由于向量组是向量组的极大线性无关组,显然向量组线性无关.而向量组
6、线性相关,故B此外,由排除法知选项(B)错误.故应选(B).选项(A)正确.选项(C)正确.选项(D)也正确.显然2、若向量组的秩r，则（）B向量组向量组线性无关；线性相关；存在一个向量可以由其余向量线性表示；任一向量都不能由其余向量线性表示；当向量组的秩等于向量个数时，向量组线性无关；3、若向量组都是向量组则有().解:同一向量组的极大线性无关组所含向量的个数是相同的.故选项(C)正确.C的极大无关组,解:根据向量组的秩与向量个数的关系：当向量组的秩小于向量个数时，向量组线性相关；选项(B)正确.三.求下列向量组的秩(必须有解题过程):解:解:当时，当时，
7、当时，四.求下列向量组的一个极大线性无关组,并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.解:无关组为向量组的极大线性且有:2、解:向量组的极大线性无关组为：且有:五.已知向量组(1)求(2)求向量组的一个极大线性无关组，并将其余解:的秩为3的向量用极大线性无关组线性表示。√√√且当时，将矩阵的第3行加到第四行可将第四行化为零行，则向量组的极大线性无关组为六.设n维基本单位向量组可由n维向量组线性表示,证明向量组线性无关.证:因n维基本单位向量组线性表示,而n维向量组等价.可由n维向量组由于等价的向量组有相同可由n维基本单位向量组线性表示,因此向量组与向量
8、组的秩,而所以因此向量组线性无关.证毕.七.设证明:
