线性代数复习题答案.ppt

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1、I.线性代数的来龙去脉-----了解内容简介的公式解：1.一元一次方程2.问题：Eg1.二元一次方程组的公式解？提出的上述问题有两种公式解法：1.行列式方法；2.矩阵方法战略上要藐视敌人，战术上要重视敌人。这也是学习的战略战术。公式解!解1（行列式方法）：解2（矩阵方法）藐视,纷繁复杂的内容；重视,每一个计算环节方程组矩阵表示公式解!公式解!矩阵形式2.逆矩阵1.矩阵相乘行列式计算Eg2.方程组时方程组为有无穷多组解，其通解为出现了向量无穷多组解的表示向量组，就要谈线性相关还是线性无关无穷多个解补：时，方程组有无穷多解且时，方程组有唯一解增广矩

2、阵为时，方程组无解.再比如方程组令得原方程组的一特解为:原方程组的通解为:线性代数内容1.行列式(定义及其计算)2.矩阵(定义及其计算—四则运算、初等变换)（向量组，就要谈线性相关还是线性无关；秩等）3.向量行列式、矩阵、向量组计算及其性质在全面解决线性方程组无解、有唯一解、有无穷多组解的解和通解上的应用4.线性方程组5.特征值与特征向量方阵的进一步学习----方阵的n次幂,利用特征值与特征向量对角化的方法来进行6.二次型对角化方法、配方法，解决多元二次函数最大最小值问题2.矩阵(定义及其计算—四则运算、初等变换)矩阵是一个表格，矩阵运算是表格

3、中的运算而相应的行列式及其运算(一个数)Eg3.解方程：Eg13.向量求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示秩Eg.设矩阵解:求一正交矩阵P，使得为对角阵，并写出相应的对角阵5.特征值与特征向量对角阵1对角阵2单位正交化得所求为使得对角阵复习题分析一、填空题1.若3阶行列式

4、A

5、=4,解:所以A可逆,2.已知4阶方阵A的特征值为−1,1,2,3,则

6、2A

7、=解:3.设4阶行列

8、A

9、=1,解:所以A满秩,因为4阶行列

10、A

11、=1≠0,即R(A)=4.则a,b,c满足的条件是____.解:4.若所以a,b,c满足的条件是:a

12、,b,c各不相等.(这是3阶范德蒙行列式)5.设3阶方阵A的特征值为对应的特征向量依次为解:取容易求得组Ax=b6.若A是秩为2的三阶方阵,解:的非零解,则Ax=b的通解是___________________.由于R(A)=2,n−r=3-2=1,所以导出组的基础解系包含一个解向量.是导出组的解向量,是方程组Ax=b的一个特解,所以方程组Ax=b的通解为7.已知则=_____________.线性相关,解:−2或=1.线性相关,所以有解:8.已知二次型的矩阵表达式为则t的取值范围是_______________.是正定的,一阶主子式2>0

13、.二阶主子式三阶主子式1.设A,B都是n阶方阵,二、选择题则下列结论正确的是().(A)

14、A+B

15、=

16、A

17、+

18、B

19、;(B)(C)(D)

20、−A

21、=

22、A

23、.解:

24、A+B

25、≠

26、A

27、+

28、B

29、,选项(A)不正确.选项(B)也不正确.选项(C)正确.C选项(D)不正确.则2.已知三阶行列式

30、A

31、=2,

32、B

33、=3,解:直接计算,解此题.故选项(D)正确.D3.设n阶方阵A的行列式

34、A

35、=a≠0,则解:直接计算,解此题.故选项(D)正确.D4.

36、A

37、=0的充要条件是().(A)A为零矩阵;(B)A中有两行元素成比例;(C)A中的行向量组线性相关;(D)A的特征

38、值全为零.解:A为零矩阵是

39、A

40、=0的充分但不必要的条件.A中有两行元素成比例是

41、A

42、=0的充分但不必要的条件.A中的行向量组线性相关是

43、A

44、=0的充分必要条件.故选项(C)正确.若A的特征值为则只需一个特征值为零即可.选项(A),(B),(D)均不正确.C5.若A,B都是n阶正交矩阵,(A)A+B也是正交矩阵;(B)AB+BA也是正交矩阵;(C)(D)AB+I也是正交矩阵.解:则().若A是正交矩阵,则有由于选项(A)错误.由于C也是正交矩阵;以下根据定义验证:由于由于选项(C)正确.选项(B)错误.选项(D)错误.6.已知4个向量:(A)(

45、B)(C)(D)解:则这向量组的极大线性无关组为().设√极大无关组为√√故选项(B)正确.BR(A)=3,7.设(≠0)是n阶方阵A的特征值,(A)(B)(C)(D)解:则A的伴随矩阵若是A的特征值,的特征值为().则的特征值为由于A所以故选项(A)正确.8.设Ax=0①是非齐次方程组Ax=b②的导出组,(A)若②有无穷多组解,则①仅有零解;解:则().导出组①有非零解,故选项(C)与(D)均错误.若非齐次方程组②有无穷多解,则有R(A)=R(B)=r

46、若①有非零解,则②有无穷多解.非齐次方程组②未必有解,此时导出组①有非零解.故选项(B)正确.4.若则().解:若A可逆,则即A=0或A=I是有条件的