线性代数复习题答案.doc

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1、线性代数练习答案练习一一、1.2.3.D4.C5.二、1.2.3.4.5.三、证：左=练习二一、1.2.3.4.D5.C二、1.。2.3.4.三、1.方程组有唯一解；2.设由已知可得求得D=48，D1=96，D2=--240，D3=0，D4=336，则练习三一、1.A2.D3.D4.A5.C二、1.（1）线性无关（2）c=5时，线性相关设2.设存在一组数，使由无关得方程有非零解线性相关3.由于分量组成的行列式不为0，所以线性无关。又因为线性相关（5个4维向量一定线性相关）所以一定可由线性表示。设，根据此向量等式，我们可以得到一个四个方程组成的方程组。把看成未知数，解出，就得

2、到由线性表示的表示方式。因为的解唯一，所以由线性表示的表示方式唯一。4.(1)由于线性无关，所以也线性无关。又因为线性相关，所以可由线性表示。(2)假设可由线性表示又因为可由线性表示，所以可由线性表示。则线性相关。这与已知线性无关矛盾。所以假设不成立。则不可由线性表示。三、证：可由，，，线性表示，存在不全为零的数：，使得：显然，否则若，则与不能由，，，线性表示矛盾。故，因此有：即：向量可由，，，，线性表示。练习四一、1.B2.B3.D4.C5.C二、解法一：分量组成的行列式为0，所以线性相关。而容易判断，，也线性相关。再有线性无关，所以是的极大无关组。解法二：则为向量组的一

3、个最大无关组三、线性无关，且，所以线性相关，且秩为2，是的一个极大无关组。由于和有相同的秩，所以线性相关，则又可由线性表示且，所以线性相关。则，于是四、证：设是的一个极大无关组，且是的一个极大无关组。由于可由线性表示，所以是的一个极大无关组。所以的秩也是，而是的一个极大无关组，所以也是的一个极大无关组，则可由线性表示，那么就可由线性表示。则与等价。练习五一、1.2.C3.C4.C5.D二、1.2.3.原式=4.1或10三、为对称矩阵；令则时，练习六一、1.A2.C3.B4.A5.D二、三、四、；；五、1.，得2.是非奇异矩阵练习七一、1.D2.B3.A4.A5.B二、1.（

4、1），（2）2.因则3.,因此4.三、1.由，得。从而有：即：所以有：，故：可逆。且：。2.只要证明即可。又因为：，；知：故：。所以不可逆。练习八一、1.A2.B3.C4.B5.A二、1.取基础解系：方程组通解为，其中为任意实数。`2.≌，对应的方程组为取，得，对应的齐次线性方程组的同解方程组为：，其基础解系为：所求通解为：，其中为任意实数。3.（1）当且时，，方程组有唯一解。（2）当且时，则，方程组有无穷多解；(3)当时，若则，方程组无解；若则，方程组无解。三、若是一个基础解系，则线性无关已知线性无关…①，而，即方程组①只有零解四、由线性无关及知，且是齐次方程组的基础解系

5、，又由知是方程组的解，因此非齐次方程组的通解为，其中为任意实数。阶段自测题（一）一、1．2.63.，其中为任意实数4.25.二、1.D2.C3.D4.D5.D三、1.原式=2.原式3.令，方程组有解，则可由线性表示（1）有唯一解（2）有无穷个解无穷个解（3）无解无解四、设还有一种表示方式为，两式相减，则有0=，若线性无关，则所有，表示法唯一；若线性相关，则存在，表示法不唯一。五、由及有，于是有。练习九一、1.0，2.正交3.4.，.5.，，二、1．单位化，得：为所求2．由题意知=-1，且有所以3．，故对应于特征值－1的全部特征向量为4．设特征向量对应的特征值为，则有，可得，

6、a=7，b=8。三、1．则是正交矩阵是正交矩阵，由于都是正交矩阵，所以也是正交矩阵。2．假设是对应的特征向量，则有，再由，整理可得，由线性无关知，矛盾。练习十一、1．有n个线性无关的特征向量2.63.14.正交矩阵对角矩阵5.二、1．2．，所以特征值为-3和6对于特征值-3，特征向量为对于特征值6，特征向量为，把特征向量正交单位化得，则即可使3．由于A与B相似，因此有相同的特征值，所以B的特征值也为1，0，-1由有，即所以PX为B的特征向量，求之分别为4．令，有5．可逆存在；与相似练习十一一、1．是，是，否，否2.3.4.，负定二次型5.0二、1．不是正定的2．正定三、都正

7、定，有：也正定四、由二次型矩阵的各阶主子式大于0，可解得（1）（2）五、，，所以特征值为1，4，-5，对应特征向量分别为，单位化后，得到，则，X=PY使阶段自测题（二）一、1.2.且3.34.－4，－6，－12.5.二、1．C2.D3.C.4.B5.A三、1.(1)(2)(3)2.有n个不同特征值可对角化有可逆矩阵，使=（2n-3）！！3.由解得，设，由，把特征值和特征向量代入，得到关于的方程组，解得分别为，所以四、证：由，对于任意向量X，有，所以X是A的特征向量。